Question

Решить Дифференциальное уравнение четвёртого порядка

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y= 8 \cdot \frac{ \sqrt{(x+C_1)^9 } }{5 \cdot 7 \cdot 9} } +\frac{C_2 \cdot x^2}{2}+C_3 \cdot x +C_4$

Пошаговое объяснение:

Дано уравнение

$2 \cdot y^{IV}=3 \cdot \sqrt[3]{y^{III}} .$

Постепенно понижаем степень производной:

$\displaystyle 2 \cdot y^{IV}=3 \cdot \sqrt[3]{y^{III}} \\\\2 \cdot \frac{d(y^{III})}{dx} =3 \cdot \sqrt[3]{y^{III}} \\\\2 \cdot \frac{d(y^{III})}{\sqrt[3]{y^{III}} } =3 \cdot dx \\\\2 \cdot \int\limits \frac{d(y^{III})}{ (y^{III})^{\dfrac{1}{3} }} =3 \cdot \int\limits dx$

$\displaystyle 2 \cdot \int\limits (y^{III})^{-\dfrac{1}{3} } d(y^{III})=3 \cdot \int\limits dx \\\\2 \cdot \frac{(y^{III})^{-\dfrac{1}{3} +1} }{-\dfrac{1}{3} +1} =3 \cdot x+3 \cdot C_1 \\\\2 \cdot \frac{(y^{III})^{\dfrac{2}{3} } }{\dfrac{2}{3} } =3 \cdot x+3 \cdot C_1 \\\\2 \cdot 3 \cdot \frac{(y^{III})^{\dfrac{2}{3} } }{2} =3 \cdot x+3 \cdot C_1 \\\\(y^{III})^{\dfrac{2}{3} }= x+C_1$

$\displaystyle y^{III}= (x+C_1)^{\dfrac{3}{2} } \\\\y^{II}= \int\limits (x+C_1)^{\dfrac{3}{2} } dx \\\\y^{II}= \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{3}{2} +1} }{ \dfrac{3}{2} +1 } +C_2 \\\\y^{II}= 2 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{5}{2}} }{ 5} +C_2$

$\displaystyle y'= \int\limits (2 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{5}{2}} }{ 5} +C_2 )dx \\\\y'= 2 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{5}{2}+1} }{5 \cdot (\dfrac{5}{2}+1)} +C_2 \cdot x +C_3 \\\\y'= 4 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{7}{2}} }{5 \cdot 7} +C_2 \cdot x +C_3 \\\\y= \int\limits (4 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{7}{2}} }{5 \cdot 7} +C_2 \cdot x +C_3 )dx=\\\\=4 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{7}{2}+1} }{5 \cdot 7 \cdot (\dfrac{7}{2}+1)} } +\frac{C_2 \cdot x^2}{2}+C_3 \cdot x +C_4=$

$\displaystyle y= 8 \cdot \frac{ (x+C_1)^{\dfrac{9}{2}} }{5 \cdot 7 \cdot 9} } +\frac{C_2 \cdot x^2}{2}+C_3 \cdot x +C_4.$

#SPJ1