Question

Помогите пожалуйста срочно
y'*cosx+y*sinx=cos^2(x)

Answer 1

$y'\cdot\cos x+y\cdot\sin x=\cos^2x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$y'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot y =\cos x$

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций $y=uv$. Тогда:

$y'=u'v+uv'$

Получим:

$u'v+uv'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot uv =\cos x$

Потребуем, чтобы сумма первого и третьего слагаемого в левой части равнялась нулю:

$u'v+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot uv =0$

$u'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot u =0$

$\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot u$

$\dfrac{du}{u} =-\dfrac{\sin x}{\cos x}dx$

Интегрируем обе части:

$\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{-\sin x}{\cos x}dx$

$\ln u=\int\dfrac{d(\cos x)}{\cos x}$

$\ln u=\ln\cos x$

$u=\cos x$

Тогда, второе слагаемое в левой части полученного после замены уравнения равно правой части:

$uv'=\cos x$

$\cos x\cdot v'=\cos x$

$v'=1$

$v=x+C$

Получаем:

$y=uv=(x+C)\cos x$

Ответ: y=(x+C)cosx