Question

Буду вдячна за вирішення❤️
Дано комплексне число b Потрібно:
1) записати його в алгебраїчній та тригонометричній форматах;
2)знайти всі корені рівняння z^3-b=0

b= -2 корінь2/1-і

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Перевод: Дано комплексное число $\displaystyle b= \dfrac{-2\sqrt{2} }{1-i}$.

Требуется:

1) записать его в алгебраическом и тригонометрическом форматах;

2) найти все корни уравнения z³-b=0.

Нужно знать: Если число z представлен в тригонометрическом формате

$\displaystyle z=|z| \cdot (cos \beta +i \cdot sin \beta ),$

то корень n - ой степени определяется по формулам

$\displaystyle (\sqrt[n]{z})_m =\sqrt[n]{|z|} \cdot (cos \frac{\beta + 2\cdot \pi \cdot m}{n} +i \cdot sin \frac{\beta + 2\cdot \pi \cdot m}{n}),\\\\m=0,1,2,...,n-1.$

Решение. Известно, ι² = -1.

Число b представим в алгебраическом формате, то есть в следующем виде:

$\displaystyle b=x +i \cdot y.$

Для этого избавимся от комплексного числа в знаменателе:

$\displaystyle b= \dfrac{-2\sqrt{2} }{1-i}=\dfrac{-2\sqrt{2} \cdot (1+i)}{(1-i) \cdot (1+i)}=\dfrac{-2\sqrt{2} \cdot (1+i)}{1^2-i^2}=\\\\=\dfrac{-2\sqrt{2} \cdot (1+i)}{1+1}=-\sqrt{2}- \sqrt{2}\cdot i.$

Значит, в алгебраическом формате число b имеет вид:

$\displaystyle b=-\sqrt{2}- \sqrt{2}\cdot i,$

то есть

$\displaystyle x=-\sqrt{2}, \; y=- \sqrt{2} .$

Теперь число b представим в тригонометрическом формате, то есть в следующем виде:

$\displaystyle b=r \cdot (cos\alpha +i \cdot sin\alpha ),$

где

$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}, \; cos \alpha =\frac{x}{r} , \; sin\alpha =\frac{y}{r} .$

Тогда:

$\displaystyle r=\sqrt{(-\sqrt{2} )^2+(-\sqrt{2} )^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4} =2 , \\\\cos \alpha =\frac{-\sqrt{2} }{2} , \; sin\alpha =\frac{-\sqrt{2} }{2} .$

Отсюда α = 225°. Значит, в тригонометрическом формате число b имеет вид:

$\displaystyle b=2 \cdot (cos 225^0 +i \cdot sin 225^0).$

2) Решаем уравнение z³-b=0, то есть уравнение z³ = b. Тогда корень 3-степени определяем по формуле:

$\displaystyle (\sqrt[3]{b})_m =\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot m}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot m}{3}),\\\\m=0,1,2.$

$\displaystyle (\sqrt[3]{b})_0 =\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 0}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 0}{3})=\\\\=\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0}{3} +i \cdot sin \frac{225^0}{3})=\sqrt[3]{2} \cdot (cos 75^0 +i \cdot sin 75^0);$

$\displaystyle (\sqrt[3]{b})_1 =\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 1}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 1}{3})=\\\\=\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 2\cdot \pi}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 2\cdot \pi}{3})=\\\\=\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{585^0}{3} +i \cdot sin \frac{585^0}{3})= \sqrt[3]{2} \cdot (cos 195^0 +i \cdot sin 195^0);$

$\displaystyle (\sqrt[3]{b})_2 =\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 2}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 2\cdot \pi \cdot 2}{3})=\\\\=\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{225^0+ 4 \cdot \pi}{3} +i \cdot sin \frac{225^0+ 4 \cdot \pi}{3})=\\\\=\sqrt[3]{2} \cdot (cos \frac{945^0}{3} +i \cdot sin \frac{945^0}{3})= \sqrt[3]{2} \cdot (cos 315^0 +i \cdot sin 315^0).$

#SPJ1