Question

даю 20 баллов!
В треугольнике ABC,AB=BC,угол B=120,АС=6корней из двух,найдитесь длину биссектрисы опущенной из угла А

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дан Δ АВС ,  АВ =ВС , ∠В=120°, АС = 6√2 ед. Надо найти длину биссектрисы , опущенной из угла А.

Так как АВ =ВС , то ΔАВС - равнобедренный. Проведем к основанию АС высоту ВК, она является медианой и биссектрисой. Тогда АК=КС = 6√2: 2 = 3√2 ед.

Рассмотрим ΔАКВ - прямоугольный , ∠АВК =120°:2=60°

( ВК - биссектриса).

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin 60^{0} =\dfrac{AK}{AB} ;\\\\\dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{3\sqrt{2} }{AB} ;\\\\AB= \dfrac{3\sqrt{2}\cdot 2 }{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3} }{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{6} }{3} =2\sqrt{6}$

В равнобедренном ΔАВС углы при основании равны. Тогда

∠А=∠С =( 180°-120°):2=60°: 2 =30°.

Если АМ - биссектриса, то она делит ∠А пополам.

Значит,

∠САМ = ∠МАВ = 30°: 2 =15°.

Рассмотрим ΔАВМ. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠АМВ = 180°-(120°+15°)= 180°-135°=45°

По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Применим теорему синусов к ΔАВМ

$\dfrac{AM}{sin 120^{0} } =\dfrac{AB }{sin 45^{0} } ;\\\\AM= \dfrac{AB\cdot sin 120^{0} }{sin 45^{0} } ;\\\\AM= \dfrac{2\sqrt{6} \cdot\dfrac{\sqrt{3} }{2} }{\dfrac{\sqrt{2} }{2} } =\dfrac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} }{\sqrt{2} } =2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} =2\cdot3=6$

Значит, длина биссектрисы АМ равна 6 ед.

#SPJ1