Question

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіками наступних функцій навколо вісі OY.y = x^2, y = x

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol { V=\frac{1 }{6} \pi}$

Объяснение:

Формула вычисления объема тела вращения, ограничеснного двумя функциями, вокруг оси OY является формула

$\displaystyle V=\pi *\int\limits^a_b {\bigg(x_2^2(y)-x_1^2(y)\bigg )} \, dy$

Делаем чертеж.

y ∈ [0; 1]

Находим функции х(у)

y₁(x) = x     ⇒   x₁(y)  =  y

y₂(x) = x²   ⇒   x₂(y) = $\large \boldsymbol {\sqrt{y} }$

Считаем полученный интеграл

$\displaystyle V=\pi \int\limits^1_1 {(y-y^2)} \, dy=\pi \bigg(\frac{y^2}{2} \bigg|_0^1-\frac{y^3}{3} \bigg|_0^1\bigg)=\pi \bigg(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} \bigg)=\frac{1 }{6} \pi$

#SPJ1