Question

Теория Вероятностей. Пусть события A и B таковы, что A ≠Ω A ≠∅ P(A)>0 и P(B|A) P(B|A). Показать, что события A и B независимы.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)·Р(В). Докажем, что для наших событий это выполнено.

Поскольку события А и $\bar A$ образуют полную группу событий, можно воспользоваться формулой полной вероятности

                   $P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar A)\cdot P(\bar A),$

а поскольку по условию $P(B|A)=P(B|\bar A),$ мы получаем

   $P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|A)\cdot P(\bar A)=P(B|A)(P(A)+P(\bar A))=P(B|A).$

Поэтому формула $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$  переходит в формулу

 $P(AB)=P(A)\cdot P(B),$ что и означает независимость событий А и В.

Замечание. На интуитивном уровне задача очевидна с самого начала - ведь по условию вероятность события  В не зависит от того, произошло событие А или не произошло.