Question

Для сигнализации об аварии установлены два независимо действующих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй
– 0,9. Найдите вероятность того, что:
а) сработает только второй сигнализатор
б) сработают оба сигнализатора
в) сработает только один из сигнализаторов
г) сработает по крайней мере один из сигнализаторов

Answer 1

Вероятности срабатывания сигнализаторов соответственно равны:

$p_1=0.95;\ p_2=0.9$

Тогда, вероятности несрабатывания сигнализаторов как вероятности противоположных событий равны:

$q_1=1-p_1=1-0.95=0.05;\ q_2=1-p_2=1-0.9=0.1$

а) Рассматриваем случай, когда первый сигнализатор не сработал, а второй сигнализатор сработал. Срабатывание первого и второго сигнализатора - независимые события, поэтому соответствующие вероятности нужно перемножить:

$q_1p_2=0.05\cdot0.9=0.045$

б) Рассматриваем случай, когда оба сигнализатора сработали:

$p_1p_2=0.95\cdot0.9=0.855$

в) Рассматриваем два случая: когда первый сигнализатор сработал, а второй сигнализатор не сработал и когда первый сигнализатор не сработал, а второй сигнализатор сработал. Эти два случая являются несовместными, поэтому получаемые для этих случаев вероятности нужно сложить:

$p_1q_2+q_1p_2=0.95\cdot0.1+0.05\cdot0.9=0.095+0.045=0.14$

г) Данный случай соответствует случаю, когда оба сигнализатора сработали (пункт б) или сработал только один из сигнализаторов (пункт в). Случаи, рассмотренные в этих пунктах, несовместны, поэтому полученные вероятности нужно сложить:

$p_1p_2+(p_1q_2+q_1p_2)=0.855+0.14=0.995$