Question

Обчислити визначений інтеграл

Answer 1

дивіться фото...........................

Answer 2

Решение.

Подведение под знак дифференциала. Выделяем дифференциал функции, которая является внутренней для подынтегральной функции .

$\displaystyle \bf a)\ \ \int\limits_1^2\, \frac{dx}{(2x+1)^2}=\frac{1}{2}\int\limits_1^2\, (2x+1)^{-2}\cdot d(2x+1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1)^{-1}}{-1}\Big|_1^2=\\\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(2x+1)}\Big|_1^2=-\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\Big)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2}{15}=\frac{1}{15}$

$\displaystyle \bf b)\ \ \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2}sin2x\, dx=\frac{1}{2}\int\limits _{\pi /4}^{\pi /2}\, sin2x\cdot d(2x)=-\frac{1}{2}\, cos2x\Big|_{\pi /4}^{\pi /2}=\\\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (cos\pi -cos\frac{\pi }{2})=-\frac{1}{2}\cdot (-1-0)=\frac{1}{2}$