Question

розв'яжіть інтеграл методом заміни чи підстановки​

Answer 1

Решение.

Сначала найдём первообразную с помощью тригонометрической замены переменной, а затем по формуле Ньютона-Лейбница вычислим определённый интеграл .

$\displaystyle \bf \int \limits _0^{\sqrt3}\, \frac{x^2\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=\Big[\ x=2\, sint\ ,\ dx=2\, cost\, dt\ ,\ t_1=\frac{\pi}{3}\ ,\ t_2=0\ \Big]=\\\\\\=\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, \frac{4sin^2t\cdot 2\, cost\, dt}{\sqrt{4-4sin^2t}}=\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, \frac{4\, sin^2t\cdot 2cost\, dt}{\sqrt{4\, cos^2t}}=\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, \frac{4\, sin^2t\cdot 2cost\, dt}{2\, cost}=$

$\displaystyle \bf =4\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, sin^2t\, dt=4\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, \frac{1-cos2t}{2}\, dt=2\int \limits _0^{\frac{\pi }{3}}\, (1-cos2t)\, dt=\\\\\\=2\cdot \Big(t-\frac{1}{2}sin2t\Big)\Big|_0^{\frac{\pi }{3}}=2\cdot \Big(\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}\Big)=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt3}{2}$