Question

у правильній трикутній піраміді бічні ребра нахилені до площини основи під кутом a. відстань від середини висоти піраміди до бічного ребра дорівнює d. знайдіть об'єм піраміди​

Answer 1

Ответ:

$V=\dfrac{2d^{3} \sqrt{3} }{sin^{2}\alpha \cdot cos\alpha }$ куб ед.

Объяснение:

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Расстояние от середины высоты пирамиды до бокового ребра равно d . Найти объем пирамиды .

Пусть дана правильная пирамида SABC. SО - высота пирамиды, ∠SСО = α.

Точка М - середина высоты SО. МК ⊥SС и МК= d .

Рассмотрим SОС- прямоугольный.

Так как сумма острых углов равна 90 °, то ∠СSО= 90°-α.

Рассмотрим ΔSКМ - прямоугольный.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin(90^{0} -\alpha )=\dfrac{MK}{SM} ;\\\\cos\alpha =\dfrac{MK}{SM};\\\\SM= \dfrac{MK }{cos\alpha };\\\\SM= \dfrac{d }{cos\alpha };$

Если точка М - середина высоты SО, то SО=2SМ

$SO= \dfrac{2d}{cos\alpha } .$

Рассмотрим SОС- прямоугольный.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg(90^{0} -\alpha )=\dfrac{OC}{SO} ;\\\\ctg\alpha =\dfrac{OC}{SO};\\\\OC= SO\cdot ctg \alpha ;\\\\OC= \dfrac{2d}{cos\alpha } \cdot ctg \alpha =\dfrac{2d}{cos\alpha } \cdot \dfrac{cos\alpha }{sin\alpha }=\dfrac{2d}{sin\alpha } ;$

Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним  и тем же углом α , то вершина пирамиды проектируется в центр, описанной около треугольника  окружности и отрезок ОС является радиусом описанной  окружности, который  определяется по формуле:

$R=\dfrac{a}{\sqrt{3} } ,$

где a- сторона ΔАВС

Тогда

$a=R\sqrt{3} \\AB=OC\cdot \sqrt{3} =\dfrac{2d\sqrt{3} }{sin\alpha }$

Площадь равностороннего треугольника определяется по формуле:

$S= \dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} ,$

где а - сторона треугольника.

$S= \dfrac{4d^{2}\cdot 3\sqrt{3} }{sin^{2} \alpha \cdot4 } =\dfrac{3d^{2} \sqrt{3} }{sin^{2} \alpha }$

Объем пирамиды определяется по формуле:

$V= \dfrac{1}{3} \cdot S\cdot H;$

$V= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3d^{2}\sqrt{3} }{sin^{2} } \cdot \dfrac{2d}{cos \alpha } =\dfrac{2d^{3} \sqrt{3} }{sin^{2}\alpha \cdot cos\alpha }$   куб ед.

#SPJ1