Question

Помогите решить, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

(5; 1) и (3; 3)

Объяснение:

Решить систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll}2^{\frac{x+y}{3}}+2^{\frac{x+y}{6}}=6\; \: \; \: (1)\\x^2+5y^2=6xy\; \: \; \: (2)\end{array}$

1.

$2^{\frac{x+y}{3}}+2^{\frac{x+y}{6}}=6$

$2^{\frac{x+y}{6}}=t,\; \: t > 0$

$t^2+t-6=0$

По теореме, обратной теореме Виета,

$t_1=-3$ - не подходит

$t_2=2$

$2^{\frac{x+y}{6}}=2$

$\dfrac{x+y}{6}=1$

$x+y=6$

2. $x^2+5y^2=6xy\; \: \; \: |:y^2\neq0$

$\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-6\dfrac{x}{y}+5=0$

$\dfrac{x}{y}=t$

$t^2-6t+5=0$

По теореме, обратной теореме Виета,

$t_1=5$   $t_2=1$

$\dfrac{x}{y}=5$   ⇒   $x = 5y$   или

$\dfrac{x}{y}=1$   ⇒    $x = y$

Итак, вернемся к системе:

$\left[\begin{array}{ll}\left\{ \begin{array}{ll}x=5y\\x+y=6\end{array}\\ \left\{ \begin{array}{ll}x=y\\x+y=6\end{array}\end{array}$       $\left[\begin{array}{ll}\left\{ \begin{array}{ll}x=5y\\6y=6\end{array}\\ \left\{ \begin{array}{ll}x=y\\2y=6\end{array}\end{array}$      $\left[\begin{array}{ll}\left\{ \begin{array}{ll}x=5\\y=1\end{array}\\ \left\{ \begin{array}{ll}x=3\\y=3\end{array}\end{array}$

(5; 1) и (3; 3) - решения системы