Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx = 1}}$

Примечание:

Признак Гейне:

Интеграл  $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{a} { f(x)} \, dx$   сходится, если сходится ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{A_{n}}_{A_{n - 1}} {f(x)} \, dx$(при любом выборе последовательности $(A_{n} ) ,A_{0} = a, A_{n} \geq a, A_{n} \to + \infty)$.

Признак Раабе:

Если для ряда  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n}$ существует предел:

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$

то при $R > 1$ ряд сходится, а при $R < 1$ - расходится. Для $R = 1$ признак не позволяет дать однозначный ответ.

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Для доказательства сходимости интеграла $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx$ по признаку Гейне:

Зададим последовательность $A_{n}$, где $A_{n} = n + 1$ при $n \in \mathbb N$.

$A_{n - 1} = n - 1 + 1= n$

$n + 1 > 1$, так как $n > 0$

$n + 1 \to +\infty$ при $n \to +\infty$

То есть по признаку Гейне необходимо доказать, что сходится ряд:

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{A_{n}}_{A_{n - 1}} {f(x)} \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{n + 1}_n} {\frac{1}{x^{2} } } \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{n + 1}_n} {x^{-2} } \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} \bigg|^{n+1}_{n} \bigg)=$

$\displaystyle = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(-\frac{1}{x} \bigg|^{n+1}_{n} \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(-\frac{1}{n + 1} - \bigg(-\frac{1}{n} \bigg) \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \bigg)=$

$\displaystyle = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{n + 1 - n}{n(n + 1)} \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)}$

Пусть $a_{n}= \dfrac{1}{n(n + 1)}$, тогда $a_{n + 1}= \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}$.

По признаку Раабе в предельной форме для $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_{n}:$

$\displaystyle R= \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \dfrac{\dfrac{1}{n(n + 1)}}{\dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}} - 1 \Bigg) = \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \frac{(n + 1)(n + 2)}{n(n +1)} - 1 \Bigg) =$

$\displaystyle= \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \frac{(n + 2)}{n} - 1 \Bigg) =\lim_{n \to \infty} \Bigg ( \frac{n(n + 2)}{n} - n \Bigg) = \lim_{n \to \infty} (n + 2 - n) = \lim_{n \to \infty} 2 =2$

Так как $R > 1 \ (2 > 1)$, то по признаку Раабе ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ сходится и следовательно по признаку Гейне для несобственных интегралов 1 рода интеграл $\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx$ - сходится.

Вычислим интеграл с помощью несобственной двойной подстановки:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx = \bigg(-\frac{1}{x} \bigg|^{+\infty}_{1} \bigg) = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} - \bigg(-\frac{1}{1} \bigg)= 0 - (-1)=1$