Question

Найдите частные производные второго порядка функции z=x^3y^4+y cos x

Answer 1

$z=x^3y^4+y\cos x$

Находим частные производные первого порядка:

$z'_x=(x^3y^4)'_x+(y \cos x)'_x=y^4\cdot (x^3)'_x+y\cdot ( \cos x)'_x=$

$=y^4\cdot 3x^2+y\cdot ( -\sin x)=3x^2y^4-y\sin x$

$z'_y=(x^3y^4)'_y+(y \cos x)'_y=x^3\cdot(y^4)'_y+\cos x\cdot y'_y=$

$=x^3\cdot4y^3+\cos x\cdot 1=4x^3y^3+\cos x$

Находим частные производные второго порядка:

$z''_{xx}=(z'_x)'_x=(3x^2y^4)'_x-(y\sin x)'_x=3y^4\cdot(x^2)'_x-y\cdot(\sin x)'_x=$

$=3y^4\cdot2x-y\cdot\cos x=\boxed{6xy^4-y\cos x}$

$z''_{xy}=z''_{yx}=(z'_x)'_y=(3x^2y^4)'_y-(y\sin x)'_y=3x^2\cdot(y^4)'_y-\sin x\cdot y'_y=$

$=3x^2\cdot4y^3-\sin x\cdot 1=\boxed{12x^2y^3-\sin x}$

$z''_{yy}=(z'_y)'_y=(4x^3y^3)'_y+(\cos x)'_y=4x^3\cdot (y^3)'_y+0=4x^3\cdot 3y^2=\boxed{12x^3y^2}$