Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

  $\vec{a}=-\vec{i}+5\vec{k}\ ,\ \ \vec{b}=-3\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}\ ,\ \ \vec{c}=-2\vec{i}-4\vec{j}+\vec{k}$  

Запишем векторы в координатной форме записи .

$\vec{a}=(-1;0;5)\ ,\ \ \vec{b}=(-3;2;2)\ ,\ \ \vec{c}=(-2;-4;1)$

$a)\ \ 2\vec{b}=(-6;4;4)\ ,\ \ 3\vec{a}=(-3;0;15)$

Скалярное произведение  $2\vec{b}\cdot 3\vec{a}=6\cdot 3+0+4\cdot 15=78$  

б)  $7\vec{a}=(-7;0;35)\ ,\ \ -3\vec{c}=(6;12;-3)$

Скалярное произведение  $7\vec{a}\cdot (-3\vec{c})=-7\cdot 6+0-35\cdot 3=-147\ ,\ \ |-147|=147$  

в) Смешанное произведение.

$3\vec{a}=(-3;0;15)\ ,\ \ -4\vec{b}=(12;-8-8)\ ,\ \ 2\vec{c}=(-4;-8;2)$

$(3\vec{a},-4\vec{b},2\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}-3&0&15\\12&-8&-8\\-4&-8&2\end{array}\right|=-3(-16-64)+15(-96-32)=\\\\\\=240-1920=-1680$

г)  Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Для векторов   $\vec{b}\ ,\ \vec{c}$  :  $\dfrac{-3}{-2}\ne \dfrac{2}{-4}\ne \dfrac{2}{1}$   . Они не коллинеарны .

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно 0 .

Проверим:  $\vec{b}\cdot \vec{c}=-3\cdot (-2)+2\cdot (-4)+2\cdot 1=6-8+2=0\ \ \Rightarrow \ \ \vec{b}\perp \vec{c}$

д)  Векторы компланарны, если их смешанное произведение = 0 .

$(7\vec{a}\, ,\, 2\vec{b},-3\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}-7&0&35\\-6&4&4\\6&12&-3\end{array}\right|=-7(-12-48)+35(-72-24)=\\\\\\=420-3360=-2940\ne 0$

Векторы не компланарны .