Question

Вычислить с помощью двойного интеграла

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ V = \dfrac{1}{6} } }$ кубических единиц

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy }}$ - объем цилиндрического тела с образующими, параллельными оси $OZ$ ограниченное снизу областью $G$, а сверху поверхностью $z = f(x,y) \geq 0$. Данное определение показывает геометрический смысл двойного интеграла.

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область $G$  снизу и сверху соответственно.

Объяснение:

Область $T \ (XYZ)$ ограниченна поверхностями :

$z = x^{2} + y^{2}$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x + y = 1 \Longleftrightarrow y = 1 - x$

Область $G \ (XY):$

Пересечения плоскости $z = 0$ и плоскости x + y = 1 это кривая $y = 1- x$ в плоскости $z$.

Таким образом область $G$ ограниченна прямой $y = 1- x$, а также прямыми $x = 0$, $y = 0$.

Найдем абсциссу пересечения прямых $y = 0$ и $y = 1- x$.

$0 = 1 - x \Longrightarrow x = 1$

Границы интегрирования: от 0 до 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$V= \displaystyle \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^{1}_{0} \, dx \int\limits^{1 - x}_{0} {(x^{2} + y^{2})} \, dy =\int\limits^{1}_{0} \bigg( \bigg(yx^{2} + \frac{y^{3}}{3} \bigg)\bigg |^{1 -x}_{0} \bigg) \, dx=$

$\displaystyle = \int\limits^{1}_{0} \bigg( \bigg( (1 -x)x^{2} + \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) - \bigg( 0\cdot x^{2} + \frac{(0 )^{3}}{3} \bigg) \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{1}_{0} \bigg( (1 -x)x^{2} + \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) \, dx = \int\limits^{1}_{0} \bigg( x^{2} - x^{3} \bigg) \, dx - \int\limits^{1}_{0} \bigg( \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) \, d(1 -x) =$

$\displaystyle = \Bigg( \bigg( \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \bigg) \bigg |^{1}_{0} \Bigg) - \Bigg( \bigg( \frac{(1 - x)^{4}}{3 \cdot 4} \bigg)\bigg |^{1}_{0} \Bigg) =$

$\displaystyle = \Bigg( \bigg( \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{4}}{4} \bigg) - \bigg( \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{4}}{4} \bigg) \Bigg) - \Bigg( \bigg( \frac{(1 - 1)^{4}}{12} \bigg)- \bigg( \frac{(1 - 0)^{4}}{12} \bigg) \Bigg) =$

$\displaystyle = \bigg(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \bigg) - \bigg(0 - \frac{1}{12} \bigg) = \frac{4 - 3 +1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ кубических единиц.