Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{ \boldsymbol{A^{-1} = \dfrac{1}{63} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}} }$

б) $\boxed{ \boldsymbol{A^{-1} = - \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} } }$

Примечание:

Теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n -1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Обратная матрица существует когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Обратная матрица:

$\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} } }$

Где:

$A^{*} -$  матрица из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А.

Объяснение:

31.

а)

$\begin{pmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 12 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) = 60 + 3 = 63$

Так как $\text{det} A \neq 0$, то матрица $A$ имеет обратную матрицу $A^{-1}$.

Алгебраические дополнения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} = 5$

$A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 3$

$A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = -1$

$A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 12 \end{vmatrix} = 12$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$ - союзная матрица

$A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{63} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$ - обратная матрица

б)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}r_{1} - r_{2};r_{3} - r_{2} = \begin{vmatrix} 1 - 1 & 2 - (-3) &-5 -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 - 1 & 1 - (-3) & -2 - 3 \end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} 0& 5 &-8 \\ 1 & -3 & 3 \\ 0 &4 & -5 \end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} =0 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} +0 \cdot A_{31} = A_{21} =$

$= 1 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 5 & -8 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} = -(-5 \cdot 5 - 4 \cdot (-8)) = -(-25 + 32) = -7$

Так как $\text{det} A \neq 0$, то матрица $A$ имеет обратную матрицу $A^{-1}$.

Алгебраические дополнения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} =((-2) \cdot (-3) - 1 \cdot 3) = 6 - 3 = 3$

$A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -((-2) \cdot1 - 1 \cdot 3) = -(-2 - 3) =5$

$A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix}1 & -3 \\ 1 &1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & -3 \\ 1 &1 \end{vmatrix} = (1 \cdot1 - 1 \cdot (-3)) = (1 + 3) = 4$

$A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -((-2) \cdot 2 - 1 \cdot (-5)) = -(-4 + 5) =-1$

$A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-5)) = (-2+ 5) = 3$

$A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = -(1 - 2) = 1$

$A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3 - (-5) \cdot (-3)) = (6 - 15) = -9$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 3 - 1 \cdot (-5)) = -(3 + 5) = -8$

$A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-3) - 1 \cdot 2) = (-3 -2) = -5$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}$ - союзная матрица

$A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} =- \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}$ - обратная матрица