Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boldsymbol{ \boxed{\Delta = a (x - y)(z - y)(z -x ) } }$

б) $\boldsymbol{ \boxed{\Delta = -18} }$

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

При сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число определитель матрицы не меняется.

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Объяснение:

17.

а)

$\Delta = \begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} & ax & 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} & az & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} & ax & 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} & az & 1\end{vmatrix} r_{1} - r_{2};r_{3} - r_{1} =$

$= \begin{vmatrix} (x^{2} + a^{2}) - (y^{2} + a^{2}) & ax - ay & 1 - 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ (z^{2} + a^{2}) - (y^{2} + a^{2}) & az - ay & 1 - 1\end{vmatrix} =$

$=\begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} - y^{2} - a^{2} & ax - ay & 0\\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} - y^{2} - a^{2} & az - ay & 0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{2} - y^{2} & ax - ay & 0\\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} - y^{2}& az - ay & 0\end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 3 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= a_{13} \cdot A_{13} + a_{23} \cdot A_{23} + a_{33} \cdot A_{33} = 0 \cdot A_{13} + a_{23} \cdot A_{23} + 0 \cdot A_{33} = a_{23} \cdot A_{23} =$

$= 1 \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} x^{2} - y^{2} & ax - ay \\ z^{2} - y^{2}& az - ay \end{vmatrix} = -1((x^{2} - y^{2})(az - ay ) - (z^{2} - y^{2})(ax - ay))=$

$= -(a(x - y)(x + y)(z - y ) - a(z - y)(z + y)(x - y))=$

$= -(a(x - y)(z - y)(x + y -(z + y))) = -(a(x - y)(z - y)(x + y -z - y))=$

$= -a(x - y)(z - y)(x -z )=a (x - y)(z - y)(z -x )$

б)

$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} r_{3} + 2r_{4} =$

$= \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 + 3 \cdot 2 & 2 + 0 \cdot 2 & 2 + 2 \cdot (-2)& -2 + 2 \cdot 1 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} r_{4} + r_{2}=$

$= \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 3 + 1 & 0 + 3 & -2 + 0 & 1 + (-1)\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 4 & 3 & -2 &0\end{vmatrix}=$

Вычислим определитель по 4 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= a_{14} \cdot A_{14} + a_{24} \cdot A_{24} + a_{34} \cdot A_{34} + a_{44} \cdot A_{44} =$

$= 0 \cdot A_{14} + (-1) \cdot A_{24} + 0 \cdot A_{34} + 0 \cdot A_{44} = -A_{24} = -1 \cdot (-1)^{2 + 4} M_{24}= -M_{24} =$

$= -\begin{vmatrix} 2& 1 & 1 \\ 6 & 2 & -2 \\ 4 &3 & -2\end{vmatrix} c_{2} + c_{1} = -\begin{vmatrix} 2& 1 + 1 & 1 \\ 6 & 2 + (-2) & -2 \\ 4 &3 + (-2) & -2\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2&2 & 1 \\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix}r_{1} - 2r_{3} =$

$= -\begin{vmatrix} 2 - 2 \cdot4&2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot (-2)\\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} -6&0 & 5\\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= -(a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32})= -(0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32})=$

$= -1 \cdot a_{32} \cdot A_{32} = -1 \cdot 1 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} -6&5 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -6&5 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = ((-6) \cdot (-2) - 6 \cdot 5) =$

$= 12 - 30 = -18$