Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ A = a^{2} \Bigg(\frac{2a}{3} - \frac{\pi}{4} \Bigg)} }$

Примечание:

$\boxed{ \sin^{2} \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha }{2} }$ - формула понижения степени

$\displaystyle \int\limits^{0,5\pi}_{0} {f(\sin x)} \, dx =$

---------------------------------------------------------------------------------------

Замена: $x = 0,5\pi - t \Longrightarrow dx = -dt$

$t = 0,5\pi - x$

$\sin x = \sin (0,5\pi - t) = \cos t$ - по формуле приведения

Новые границы интегрирования:

$t_{1} = 0,5\pi - 0 = 0,5\pi$

$t_{2} = 0,5\pi - 0,5\pi = 0$

------------------------------------------------------------------------------------------

$= \displaystyle \int\limits^{0,5\pi}_{0} {f(\sin x)} \, dx = -\int\limits^{0}_{0,5\pi} {f(\cos t )} \, dt = \int\limits^{0,5\pi}_{0} {f(\cos t )} \, dt \Longrightarrow$

$\Longrightarrow \boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{0,5\pi}_{0} {f(\sin x)} \, dx = \int\limits^{0,5\pi}_{0} {f(\cos x )} \, dx}}$

Объяснение:

$\overrightarrow{F} = y\vec{i} + 2xy\vec{j}$ - сила

Кривая пути:

$\displaystyle L:\left \{ {{x = a \cos t} \atop {y = a \sin t}} \right.$, где $0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{2}$ (обход против часовой стрелки)

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода:

$\displaystyle A = \int\limits_{L} {P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy }$, где $\overrightarrow{F} = P(x,y)\vec{i} + Q(x;y)\vec{j}$ вдоль пути $L$.

То есть криволинейного интеграла второго рода показывает работу A силы $\overrightarrow{F}$ вдоль пути L.

Найдем производные:

 $\displaystyle \left \{ {{x' = (a \cos t)' = a( \cos t)' = -a \sin t} \atop {y' = (a \sin t)' = a(\sin t)' = a \cos t}} \right.$  

Если кривая $L$ задана параметрически, $t \in [\alpha ;\beta ]$ и $x(t), x'(t), y(t), y'(t)$ непрерывны, то:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy } = \int\limits^{\beta }_{\alpha } {\bigg ( P(x(t);y(t))x'(t) + Q(x(t);y(t))y'(t) \bigg)} \, dt } }$

Таким образом:

$\displaystyle A =\int\limits_{L} {y \, dx + 2xy \, dy } =$

$\displaystyle = \int\limits^{0,5\pi }_{0 } {\bigg ( a \sin t \cdot (-a \sin t) + 2 a \cos t \cdot a \sin t \cdot a \cos t \bigg)} \, dt =$

$\displaystyle = \int\limits^{0,5\pi }_{0 } {\bigg (2a^{3} \cos^{2} t \sin t -a^{2} \sin^{2} t \ \bigg)} \, dt = a^{2} \Bigg( \int\limits^{0,5\pi }_{0 } {\bigg (2a \cos^{2} t \sin t -\sin^{2} t \ \bigg)} \, dt \Bigg)=$

$\displaystyle = a^{2} \Bigg( \int\limits^{0,5\pi }_{0 } { 2a \cos^{2} t \sin t } \, dt - \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \sin^{2} t \, dt \bigg) \Bigg)=$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

• а)

$\displaystyle \int\limits^{0,5\pi }_{0 } { 2a \cos^{2} t \sin t } \, dt = 2a\int\limits^{0,5\pi }_{0 } { \cos^{2} t \sin t } \, dt = 2a\int\limits^{0,5\pi }_{0 } { \sin^{2} t } \, d(\sin t ) =$

$\displaystyle = 2a \bigg (\frac{\sin^{3} t}{3} \bigg|^{0,5\pi}_{0} \bigg) = \frac{2a}{3} \bigg (\sin^{3} (0,5\pi) - \sin^{3} 0 \bigg) = \frac{2a}{3} \bigg(1 - 0 \bigg) = \frac{2a}{3}$

Переход от интеграла $\displaystyle 2a\int\limits^{0,5\pi }_{0 } { \cos^{2} t \sin t } \, dt$ к интегралу $\displaystyle 2a\int\limits^{0,5\pi }_{0 } { \sin^{2} t } \, d(\sin t )$основан на том, что при интегрировании функции в промежутке от 0 до 0,5π можно косинус заменить на синус и наоборот (детальнее смотрите в примечании) и при этом конечное значение интеграла не изменится. Функцию синус можно внести под дифференциал при этом интеграл никак не изменится так как $(\sin t)' = \cos t$.  

• б)

$\displaystyle \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \sin^{2} t \, dt = \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \Bigg (\int\limits^{0,5\pi }_{0 } (1 - \cos 2t) \, dt \Bigg) =$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \Bigg (\int\limits^{0,5\pi }_{0 } 1 \, dt - \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \cos 2t \, dt \Bigg) =\frac{1}{2} \Bigg (t \bigg|^{0,5\pi}_{0} - \frac{1}{2} \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \cos 2t \, d(2t) \Bigg) =$

$= \displaystyle \frac{1}{2} \Bigg ( (0,5\pi - 0) - \frac{\sin 2t}{2} \bigg|^{0,5\pi }_{0 } \Bigg) = \displaystyle \frac{1}{2} \Bigg ( 0,5\pi - \frac{1}{2} \bigg(\sin (2 \cdot 0,5 \pi) - \sin (0 \cdot 0,5 \pi) \bigg) \Bigg) =$

$= \displaystyle \frac{1}{2} \Bigg ( 0,5\pi - \frac{1}{2} \bigg(\sin ( \pi) - \sin (0 ) \bigg) \Bigg) = \displaystyle \frac{1}{2} \Bigg ( 0,5\pi - \frac{1}{2} \bigg(0 - 0 \bigg) \Bigg) =\dfrac{0,5\pi }{2} = \frac{\pi}{4}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = a^{2} \Bigg( \int\limits^{0,5\pi }_{0 } { 2a \cos^{2} t \sin t } \, dt - \int\limits^{0,5\pi }_{0 } \sin^{2} t \, dt \bigg) \Bigg)= a^{2} \Bigg(\frac{2a}{3} - \frac{\pi}{4} \Bigg)$