Question

Длины двух сторон треугольника равны 6 и 8, а его
площадь равна 3√15. Найдите наибольшее значение,
которое может принимать длина третьей стороны
треугольника.

Answer 1

Ответ:

$2 \sqrt{46}$

Объяснение:

Выразим площадь через 2 стороны и син угла между ними

$\small S= \large \tfrac{1}{2} \small{ab \cdot} \sin \alpha \:$

a = 6; b = 8; S = 3√15

Выразим неизвестный sin a

$\small S= \large \tfrac{1}{2} \small{ab \cdot} \sin \alpha \: \: < = > \: \: \sin \alpha = \large\tfrac{2S}{ab}$

Находим синус угла

$\small \sin \alpha = \frac{2S}{ab} = \frac{2 \cdot3 \sqrt{15} }{6 \cdot8} = \frac{ \sqrt{15} }{8}$

Из основного тригонометрического тождества определим косинус угла

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \\ \cos^{2} \alpha = 1 -\sin^{2} \alpha \\ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \small{ \left( \frac{ \sqrt{15} }{8} \right)^{2} }} = \pm \sqrt{1 - \frac{15}{64} } \\ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{ 64 - 15}{64} } = \pm \sqrt{ \frac{49}{64}} = \pm \frac{7}{8}$

Т.к. угол в ∆ке может принимать значения от 0° до 180°, то и косинус может быть как положительным так и отрицательным.

Искомую сторону найдем из теоремы косинусов

${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab \cos \alpha$

При cos a = -7/8

${c}^{2} = {6}^{2} + {8}^{2} - 2 {\cdot}6{\cdot}8{\cdot} \bigg( - \dfrac{ 7}{8} \bigg) = \\ = 36 + 64 + \frac{2 {\cdot}6{\cdot}8{\cdot}7}{8} = 100 + \frac{2 {\cdot}6{\cdot}8{\cdot}7}{8} = \\ = 100 + {2 {\cdot}6{\cdot}7} = 100 + 84 = 184$

Значит

$c = \sqrt{184} = \sqrt{4 \times 46} = 2 \sqrt{46}$

При cos a = 7/8

${c}^{2} = {6}^{2} + {8}^{2} - 2 {\cdot}6{\cdot}8{\cdot} \dfrac{ 7}{8} = \\ = 36 + 64 - \frac{2 {\cdot}6{\cdot}8{\cdot}7}{8} = 100 - 84 = 16$

значит

$c = \sqrt{16} = 4$

легко увидеть, что наибольшее значение с принимает в 1-м случае. Это и будет ответом.

Ответ:

$2 \sqrt{46}$