Question

Первообразные. Помогите!

Answer 1

Функция y=F(x) называется первообразной функции y=f(x) на промежутке Х, где для любого x ∈ X выполняется неравенство: F'(x)=f(x). То есть, чтобы найти первообразную F(x) нужно взять интеграл с f(x).

1) ∫$a^{x} =\frac{a^{x}}{lna}+C.$

2) F(x) = ∫f(x)dx = ∫$e^{3x}$dx=$\frac{e^{3x} }{3} +C.$

3) $f(x)=\frac{12}{\sqrt{3x-2} }$           A(9;30)

Для начала, найдем общий вид первообразной, интегрируя заданную функцию

F(x) = ∫f(x)dx = ∫$\frac{12dx}{\sqrt{3x-2} }$ =[Замена: t=x-2)= ∫$\frac{4}{\sqrt{t}} dt$=4*2√t=4*2√(3x-2)=$8\sqrt{3x-2} +C.$

Координаты точки А(9; 30), лежащей на графике первообразной, должны удовлетворять ее уравнению:

30=$8\sqrt{3*9-2} +C$

30=$8\sqrt{27-2} +C$

30=8*5+C

30=40+C

C=30-40=-10.

Подставив значение C в общее уравнение функции, найдем искомую первообразную:

=> F(x)=$8\sqrt{3x-2} -10.$