Question

найдите площадь фигуры окграниченно линиями y=x^2 y=4x-x^2

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} = 4x - {x}^{2} \\ {x}^{2} - 4x + {x}^{2} = 0 \\ 2 {x}^{2} - 4x = 0 \\ {x}^{2} - 2x = 0 \\ x(x - 2) = 0 \\ x_{1} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = 2$

0 и 2 это нижний и верхний пределы интеграла.

Возьмем любое удобное число между 0 и 2, не считая их самих, и подставим в обе функций, например, единицу.

$y = {1}^{2} = 1$

$y = 4 \times 1 - {1}^{2} = 4 - 1 = 3$

3>1

Значит этом промежутке 4x-x²>x². В интеграле отнимаем от большего меньшее

$\displaystyle \int_{0}^{2} 4x - {x}^{2} - {x}^{2} dx = \int_{0}^{2}4x - 2{x}^{2} dx = (4 \times \frac{ {x}^{2} }{2} - 2 \times \frac{ {x}^{3} }{3} ) | _{0}^{2} = (2 {x}^{2} - \frac{2 {x}^{3} }{3}) | _{0}^{2} = (2 \times {2}^{2} - \frac{2 \times {2}^{3} }{3} ) - (2 \times {0}^{2} - \frac{2 \times {0}^{3} }{3} ) = 8 - \frac{16}{3} - 0 = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$