Question

Найти объем тела вращения вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями: у=√(4-x^2) , y=1, x=0

Answer 1

Ответ: Объем тела при вращения вокруг оси Ох  ограниченный линиями  у=√(4-x^2) , y=1, x=0   равен  2√3π (ед)³

Объяснение:

Формула для нахождения объема при вращении тела :

$\displaystyle \boldsymbol{V = \pi \cdot \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx }$

В данном случае   будет легче вычислить  сначала объем сектора  при вращении  (V) , а потом  отнять от него  объем нижней фигуры    ( V₂ + V₃ ) , чтобы найти объем искомой нами фигуры  (V₁)


Объем при вращении сектора :

$V = \displaystyle\pi \cdot \int\limits^0_2( {\sqrt{4-x^2} )^2} \, dx =\pi \cdot \int\limits^0_2 4-x^2 \, dx =\pi \cdot \bigg( 4x-\frac{x^3}{3} \bigg) \Bigg |^2_0 =\\\\\\ = \pi \bigg(8 - \dfrac{8}{3} \bigg) = \frac{16}{3} \pi$


$\displaystyle V_2 =\pi \cdot \int\limits^\sqrt{3} }_0 {1} \, dx =\pi \cdot x \bigg |^\sqrt{3}}_0 = \sqrt{3}\pi$

$\displaystyle V_3 = \pi \cdot \int\limits^2_\sqrt{3} } (\sqrt{4-x^2} ) ^2\, dx =\pi \cdot \bigg ( 4x -\frac{x^3}{3} \bigg )\Bigg|^{2} _{\sqrt{3} } = \pi \cdot\bigg(\frac{16}{3} - 4\sqrt{3} +\frac{3\sqrt{3} }{3} \bigg ) = \\\\\\ =\frac{16\pi }{3} - 3\sqrt{3} \pi$

Объем нижней фигуры :

$\displaystyle V_2 + V_3 =\frac{16}{3} \pi -3\sqrt{3} \pi + \sqrt{3 } = \frac{16}{3} \pi -2\sqrt{3} \pi$

Объем  искомой фигуры :

$V_1 = V - (V_2 +V_3) =\dfrac{16}{3} \pi - \bigg (\dfrac{16}{3} \pi -2\sqrt{3} \pi\bigg ) =2\sqrt{3} \pi$