Question

Решить Интеграл (2-х)dx/√-1-4x-2x^2 все внизу под корнем

Answer 1

Ответ:

Вычислили интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{2-x}{\sqrt{-1-4x-2x^2} } } \, dx=\frac{3\sqrt{2} }{2}arcsin(\sqrt{2}(x+1)} )+\frac{1}{2}\sqrt{1-2(x+1)^2}+C$

Объяснение:

Вычислить интеграл

$\displaystyle \int\limits {\frac{2-x}{\sqrt{-1-4x-2x^2} } } \, dx$

Выделим в подкоренном выражении знаменателя полный квадрат:

-1 - 4x - 2x² = -2x² - 4x - 2 + 1 = -2(x² +2x +1) +1 = 1 - 2(x + 1)²

Получим:

$\displaystyle \int\limits {\frac{2-x}{\sqrt{1-2(x+1)^2} } } \, dx$

Замена переменной:

х + 1 = t ⇒ x = t - 1

dx = dt

$\displaystyle \int\limits {\frac{2-t+1}{\sqrt{1-2t^2} } } \, dt = \int\limits {\frac{3-t}{\sqrt{1-2t^2} } }\, dt =\\\\=3\int\limits {\frac{dt}{\sqrt{1-2t^2} } } +\int\limits {\frac{-t}{\sqrt{1-2t^2} } } \, dt$

1. Вычислим первый интеграл.

$\displaystyle 3\int\limits {\frac{dt}{\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2} -t^2} } } =\frac{3}{\sqrt{2} } \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{2} -t^2} } }$

Это табличный интеграл:

$\displaystyle \boxed { \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2} } } \, dx =arcsin\frac{x}{a}+C }$

Вычислим интеграл и сделаем обратную замену переменной:

$\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2} } \int\limits {\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{2} -t^2} } }=\frac{3\sqrt{2} }{2} arcsin\frac{t\cdot\sqrt{2} }{1}=\\ \\=\frac{3\sqrt{2} }{2} arcsin(\sqrt{2}t)= \frac{3\sqrt{2} }{2} arcsin(\sqrt{2}(x+1))+C$

2. Вычислим второй интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{-t}{\sqrt{1-2t^2} } } \, dt =\frac{1}{4}\int\limits {\frac{-4t}{\sqrt{1-2t^2} } } \, dt$

Замена переменной:

1 - 2t² = y

-4t dt = dy

$\displaystyle \frac{1}{4}\int\limits {\frac{-4t}{\sqrt{1-2t^2} } } \, dt =\frac{1}{4}\int\limits {\frac{dy}{\sqrt{y} } } } =\\\\=\frac{1}{4} \int\limits {y^{-\frac{1}{2} }} \, dy$

Это табличный интеграл:

$\displaystyle \boxed {\int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C }$

Вычислим интеграл и сделаем обратную замену переменной:

$\displaystyle \frac{1}{4} \int\limits {y^{-\frac{1}{2} }} \, dy=\frac{1}{4}\cdot\frac{y^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2} } =\\\\=\frac{1}{2}\sqrt{y}=\frac{1}{2}\sqrt{1-2t^2}=\\ \\ =\frac{1}{2} \sqrt{1-2(x+1)^2}+C$

Итак, вычислили интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{2-x}{\sqrt{-1-4x-2x^2} } } \, dx=\frac{3\sqrt{2} }{2}arcsin(\sqrt{2}(x+1)} )+\frac{1}{2}\sqrt{1-2(x+1)^2}+C$

#SPJ1