Question

требуется решение подпункта 17​

Answer 1

Ответ:

$y=\pm e^x\sqrt{x^2+C}$

Пошаговое объяснение:

$y=\dfrac{x}{y}e^{2x}+y.$

Это - уравнение Бернулли, которое легко сводится к линейному уравнению. Для этого домножаем уравнение на y:

$yy'-y^2=xe^{2x};\ \dfrac{1}{2}(y^2)'-y^2=xe^{2x};\ y^2=u;\ u'-2u=2xe^{2x}.$

Далее можно применить стандартную процедуру решения линейного уравнения (метод вариации произвольного постоянного), или постараться решить, ориентируясь на  конкретные особенности нашего уравнения. Пойдем по второму пути. Делим уравнение на $e^{2x}:$

$e^{-2x}u'-2e^{-2x}u=2x;\ u'e^{-2x}+u(e^{-2x})'=2x;\ (ue^{-2x})'=2x;\ ue^{-2x}=2\int x\, dx;$

$ue^{-2x}=x^2+C;\ u=x^2e^{2x}+Ce^{2x};\ y^2=x^2e^{2x}+Ce^{2x}.$