Question

Задача на среднее арифметическое

В некотором городе два района — старый и новый. Средняя высота зданий в старом районе вдвое меньше средней высоты зданий в новом районе и на 30% меньше, чем средняя высота зданий в городе. Найдите отношение количеств зданий в старом и новом районах.

Answer 1

Введем обозначения:

$A$ - сумма высот всех зданий в старом районе

$B$ - сумма высот всех зданий в новом районе

$s$ - количество зданий в старом районе

$n$ - количество зданий в новом районе

Находим среднюю высоту зданий в старом районе. Для этого сумму высот зданий в старом районе делим на количество этих зданий:

$\overline{h_s}=\dfrac{A}{s}$

Находим среднюю высоту зданий в новом районе:

$\overline{h_n}=\dfrac{B}{n}$

Находим среднюю высоту зданий в городе. Для этого сумму высот всех зданий в городе делим на количество зданий в городе:

$\overline{h}=\dfrac{A+B}{s+n}$

По условию средняя высота зданий в старом районе вдвое меньше средней высоты зданий в новом районе. Получим:

$\overline{h_s}=\dfrac{\overline{h_n}}{2}$

$\dfrac{A}{s} =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{B}{n}$

Преобразуем:

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{B}{n}=\dfrac{A}{s}$

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{B}{n}\cdot\dfrac{2n}{A} =\dfrac{A}{s}\cdot\dfrac{2n}{A}$

$\dfrac{B}{A} =\dfrac{2n}{s}$

По условию средняя высота зданий в старом районе на 30% меньше, чем средняя высота зданий в городе. Получим:

$\overline{h_s}=\overline{h}-0.3\overline{h}$

$\overline{h_s}=0.7\overline{h}$

$\dfrac{A}{s}=0.7\cdot\dfrac{A+B}{s+n}$

Преобразуем:

$0.7\cdot\dfrac{A+B}{s+n}=\dfrac{A}{s}$

$0.7\cdot\dfrac{A+B}{s+n}\cdot\dfrac{s+n}{0.7A} =\dfrac{A}{s}\cdot\dfrac{s+n}{0.7A}$

$\dfrac{A+B}{A} =\dfrac{s+n}{0.7s}$

$\dfrac{A}{A} +\dfrac{B}{A} =\dfrac{s+n}{0.7s}$

$1+\dfrac{B}{A} =\dfrac{s+n}{0.7s}$

Подставим соотношение для $\dfrac{B}{A}$:

$1+\dfrac{2n}{s} =\dfrac{s+n}{0.7s}$

$\dfrac{s+2n}{s} =\dfrac{s+n}{0.7s}$

$s+2n=\dfrac{s+n}{0.7}$

$0.7(s+2n)=s+n$

$0.7s+1.4n=s+n$

$1.4n-n=s-0.7s$

$0.4n=0.3s$

$\dfrac{s}{n} =\dfrac{0.4}{0.3} =\dfrac{4}{3}$

Ответ: 4/3