Question

В кошельке 16 монет, из них 6 медных. Наугад вынули 3 монеты. Чему равна вероятность того, что все три монеты медные?

Answer 1

Ответ:

$P= \frac{1}{28}$

Пошаговое объяснение:

Можно решить простым способом и "правильным" способом:

Отличие "простого" решения от "строгого" заключается в следующем:

У упрощенного подхода не доказано, что вероятность при одновременном изьятии совпадает с вероятностью, когда монеты вытащили по очереди.

Простое решение.

Представим, что мы вытаскиваем 3 монеты друг за другом. Для каждого дествия будет своя вероятность того, оно подходящее.

Соответственно, искомая вероятность, что все три монеты медные, будет равна произведению трех найденных вероятностей "правильного" выбора монеты для 1-й, 2-й и 3-й операции:

$P= P_1\cdot P_2 \cdot P_3$

1. Всего монет у нас изначально 16; из них медных монет 6.

И вероятность, что 1-я монета медная, равна

$P_1= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

2. Осталось 15 монет, из них медных 5

Тогда вероятность, что 2-я монета медная, равна

$P_2= \frac{6-1}{16-1} = \frac{5}{15}= \frac{1}{3}$

3. Последняя монета выбирается из 14 монет, из них медных 4

Тогда вероятность, что 3-я монета медная, равна

$P_3= \frac{5-1}{15-1} = \frac{4}{14}= \frac{2}{7}$

А искомая вероятность будет равна:

$P= P_1\cdot P_2 \cdot P_3=\\= \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{3} \cdot\frac{2}{7}= \frac{3\cdot1\cdot2}{8\cdot3\cdot7}=\frac{1}{4\cdot7}= \frac{1}{28}$

Ответ:

$P= \frac{1}{28}$

Строгое решение будет выглядеть так:

Искомая вероятность того, что все три монеты медные, при указанных в задаче условиях выбора равна:

отношению

числа требуемых сочетаний (по условию)

к общему числу всех возможных сочетаний.

$P = \frac{N_1}{N_0}$

Где

N1 - число сочетаний, удовлетворяющих условию

N0 - общее число сочетаний

Число сочетаний по k из n опрелеляется как

$C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}$

Очевидно, что N1 - число сочетаний, когда 3 медные монеты выбираются из 6 всех медных монет

$C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}} \\ \\C_{n = 6}^{k = 3} \\ C_{ 6}^{3} ={\frac {6!}{3!\left(6 - 3\right)!}} = \frac{1 {\cdot }2{\cdot }3\cdot 4{\cdot }5{\cdot }6}{1 {\cdot }2{\cdot }3 \cdot 1 {\cdot }2{\cdot }3} = \\ = \frac{4{\cdot }5{\cdot }6}{1 {\cdot }2{\cdot }3} = \frac{4{\cdot }5{\cdot }6}{6} = 4 \times 5 = 20$

Тогда N0 - число сочетаний, когда 3 любые монеты выбираются из любых 16 монет

$C_{n = 16}^{k = 3} \\ C_{16}^{3}={\frac {16!}{3!\left(16 - 3\right)!}} ={\frac {16!}{3! \cdot13!}} \\ = \frac{1 {\cdot }2{\cdot }3{\cdot}... {\cdot}13 \cdot14{\cdot }15{\cdot }16}{1 {\cdot }2{\cdot }3 \cdot 1 {\cdot }2{\cdot }3{\cdot}... {\cdot}13} = \frac{14{\cdot }15{\cdot }16}{1 {\cdot }2{\cdot }3} = \\ = \frac{2{ \cdot7} \cdot3{\cdot }5\cdot 16}{2 \cdot3} = 7 \times 5 \times 16= 560$

И соответственно, искомая вероятность равна:

$P = \frac{N_1}{N_0} = \frac{C_{6}^{3}}{C_{16}^{3}} = \frac{20}{560} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$

Ответ:

$P= \frac{1}{28}$