сколько корней имеет уравнение х^4-4х^3-9=0?
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Уравнение 4й степени имеет 4 корня. выясним сколько из них действительных
исследуем функцию у=х⁴-4х³-9
y'=4x³-12x²=0
4x²(x-3)=0
x=0 x=3 - экстремумы
определим знаки
производной и промежутки возрастания и убывания
--------------------[0]----------------[3]---------------
y' - - +
у убывает убывает возрастает
вычислим значения функции в нескольких точках
y(-2)=(-2)⁴-4(-2)³-9=16+32-9>0
y(3) =(3)⁴-4(3)³-9=81-108-9<0
y(5) =(5)⁴-4(5)³-9=625-4*125-9=625-500-9>0
так как y(-2) и у(3) c разными знаками то функция в промежутке (-2;3) пересекает ось ОХ
так как y(3) и у(5) c разными знаками то функция в промежутке (3;5) пересекает ось ОХ
функция убывает, меняет знак достигает минимума в точке х=-3 затем возрастает
так как экстремум в точке x=3 единственный то функция пересекает ось ОХ только в двух точках то уравнение х⁴-4х³-9=0 имеет два действительных корня.
другие два корня мнимые (комплексные)