Question

Знайдіть sin a і cos a, якщо tg a =2/3, pі

Answer 1

Найти sin α и cos α, если tg α = 2/3 и π < α < 3π/2.

Ответ:

cos α = (-3√13/13); sin α = (-2√13/13).

Объяснение:

Для начала найдём cos α. Используем следующую формулу и с неё выражаем cos α через tg α:

$\LARGE \boldsymbol {} 1+ \text{tg} ^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha } \Longrightarrow \cos^2\alpha =\frac{1}{1+ \text{tg} ^2\alpha} \\\\\cos \alpha =\pm\sqrt{\frac{1}{1+ \text{tg} ^2\alpha} }$

π < α < 3π/2 ⇒ α ∈ 3 чет. Косинус в третьей четверти отрицательный, поэтому ставим перед корнём минус и подставляем наше значение tg α в формулу, которую мы вывели:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 } }=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{4}{9} } } =-\sqrt{\frac{1}{\frac{13}{9} } } =\\\\=-\frac{\sqrt{1*9} }{\sqrt{13} } =-\frac{3}{\sqrt{13} } *\frac{\sqrt{13} }{\sqrt{13} } =\boxed{-\frac{3\sqrt{13} }{13} }$

С основного тригонометрического тождества выразим sin α через cos α:

$\LARGE \boldsymbol {} \sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1 \Longrightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha }$

π < α < 3π/2 ⇒ α ∈ 3 чет. Синус в третьей четверти отрицательный, поэтому ставим перед корнём минус и подставляем наше значение cos α в формулу, которую мы вывели:

$\LARGE \boldsymbol {} \sin \alpha =-\sqrt{1-\left(-\frac{3\sqrt{13} }{13}\right)^2 }=-\sqrt{1-\frac{9\stackrel{1}{*}\not13}{\not169^{13}}} =\\\\=-\sqrt{\frac{4}{13} } =-\frac{2}{\sqrt{13} } *\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} =\boxed{-\frac{2\sqrt{13} }{13} }$