Question

С решением

1)4sin²x-cosx-1=0
2)tgx=ctgx
3) 3+sin2x=4sin²x

Answer 1

Ответ:

Все заданные уравнения сводятся к квадратным относительно тригонометрических функций .

$1)\ \ 4sin^2x-cosx-1=0$

Формула:  $sin^2x+cos^2x=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2x=1-cos^2x$

$4\, (1-cos^2x)-cosx-1=0\\\\4cos^2x+cosx-3=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=1+48=49=7^2\\\\a)\ \ cosx=\dfrac{-1-7}{8}\ \ ,\ \ cosx=-1\ \ ,\ \ x=\pi +2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=\dfrac{-1+7}{8}\ \ ,\ \ cosx=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ x=\pm arccos\dfrac{3}{4}+2\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ \boldsymbol{x=\pi +2\pi n\ ,\ x=\pm arccos\dfrac{3}{4}+2\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .}$

$2)\ \ tgx=ctgx\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\ne \dfrac{\pi n}{2}\ ,\\\\tgx-ctgx=0\\\\tgx-\dfrac{1}{tgx}=0\ \ ,\ \ \ \dfrac{tg^2x-1}{tgx}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \{\ tg^2x-1=0\ ,\ tgx\ne 0\ \}\ ,\\\\tg^2x=1\ ,\ \ tgx=\pm 1\\\\a)\ tgx=-1\ \ ,\ \ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ tgx=1\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ ,\ k\in Z$

В ответе можно объединить 1-ю и 2-ю  серии решений.

$Otvet:\ \ \boldsymbol{\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ \ n\in Z\ }$  

$3)\ \ 3+sin2x=4sin^2x\\\\4sin^2x-2sinx\cdot cosx-3\, (sin^2x+cos^2x)=0\\\\sin^2x-2sinx\cdot cosx-3cos^2x=0$

Получили однородное уравнение . Делим его на  $cos^2x\ne 0$  .

$tg^2x-2\, tgx-3=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=4+12=16\ \ ,\\\\a)\ \ tgx=\dfrac{2-4}{2}\ \ ,\ \ \ tgx=1\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ tgx=\dfrac{2+4}{2}\ \ ,\ \ tgx=3\ \ ,\ \ x=arctg3+\pi k\ ,\ k\im Z\\\\Otvet:\ \ \boldsymbol{x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ ,\ x=arctg3+\pi k\ ,\ n,k\im Z}$