Question

Помогите пожалуйста решить интеграл 2​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{(6x+2)\, dx}{(x+1)(2x^2+3x+1)}=I$

Разложим на множители знаменатель дроби.

$\displaystyle \star \ \ 2x^2+3x+1=0\ \ ,\ \ D=9-8=1\ ,\\\\x_1=\frac{-3-1}{4}=-1\ \ ,\ \ x_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2}\ \ \Rightarrow \\\\2x^2+3x+1=2(x+1)(x+\frac{1}{2})=(x+1)(2x+1)\ \ \star$    

Знаменатель:  $(x+1)(x+1)(2x+1)=(x+1)^2(2x+1)$  .

А теперь разложим дробь на сумму простейших дробей и применим метод неопределённых коэффициентов для нахождения чисел А , В и С в числителях .

$\displaystyle \frac{6x+2}{(x+1)^2(2x+1)}=\dfrac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{2x+1}\ ;\\\\\\6x+2=A(2x+1)+B(x+1)(2x+1)+C(x+1)^2\\\\x=-1:\ A=\frac{6x+2}{2x+1}=\frac{-6+2}{-2+1}=4\ \ \ ,\\\\x=-0,5:\ C=\frac{6x+2}{(x+1)^2}=\frac{-3+2}{0,25}=-4\\\\x^2\ |\ 0=2B+C\ \ ,\ \ 2B=-C=4\ ,\ \ B=2\\\\\\\frac{6x+2}{(x+1)^2(2x+1)}=\dfrac{4}{(x+1)^2}+\frac{2}{x+1}-\frac{4}{2x+1}$

$\displaystyle I=\int \frac{6x+2}{(x+1)^2(2x+1)}=\int \dfrac{4\, dx}{(x+1)^2}+\int \frac{2\, dx}{x+1}-\int \frac{4\, dx}{2x+1}=\\\\\\=4\cdot \frac{-1}{x+1}+2\, ln|\, x+1\, |-4\cdot \frac{1}{2}\, ln|\, 2x+1\, |+C=\\\\\\=\frac{-4}{x+1}+2\, ln|\, x+1\, |-2\, ln|\, 2x+1\, |+C=-\frac{4}{x+1}+2\cdot ln\Big|\, \frac{x+1}{2x+1}\, \Big|+C$