Question

Решите в натуральных числах уравнение x^2+x=y^2+2y-9. В качестве ответа укажите квадрат наименьшего из найденных значений x.

Answer 1

Ответ:

4 -квадрат наименьшего значения х

Объяснение:

Решить уравнение в натуральных числах :

$x^{2} +x=y^{2} +2y-9$

Выделим квадрат двучлена применяя формулу сокращенного умножения.

$a^{2} +2ab+b^{2} =(a+b)^{2}$

$x^{2} +2\cdot x \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4} =y^{2} +2\cdot y\cdot 1 +1-1-9;\\\left(x+\dfrac{1}{2} \right)^{2} -\dfrac{1}{4} =(y+1)^{2} -10;\\\left(x+\dfrac{1}{2} \right)^{2} - (y+1)^{2}= -10+\dfrac{1}{4};\\\left(x+\dfrac{1}{2} \right)^{2} - (y+1)^{2}= -\dfrac{39}{4};\\\left(x+\dfrac{1}{2} -y-1\right)\left(x+\dfrac{1}{2} +y+1\right)=-\dfrac{39}{4};$

$\left(x-y-\dfrac{1}{2} \right)\left(x+y+\dfrac{3}{2} \right)=-\dfrac{39}{4}|\cdot4;\\\\(2x-2y-1)(2x+2y+3)=-39|\cdot (-1) ;\\(2y-2x+1)(2y+2x+3)=39.$

Так как данное уравнение надо решить в натуральных числах, то рассмотрим все возможные случаи, когда произведение будет равно 39.

$1) \left \{\begin{array}{l} 2y - 2x+1 = 1, \\ 2y+2x+3= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 4y+4 =40, \\ 2y+2x+3= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =40-4, \\ 2y+2x+3= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =36, \\ 2y+2x+3= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y=9, \\ 2x+2\cdot9+3= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x+21= 39; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x= 39-21; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x= 18; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ x= 9. \end{array} \right.$

Тогда (9; 9) - решение данного уравнения.

$2) \left \{\begin{array}{l} 2y - 2x+1 = 39, \\ 2y+2x+3= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 4y+4 =40, \\ 2y+2x+3= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =40-4, \\ 2y+2x+3= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =36, \\ 2y+2x+3= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x+2\cdot9+3= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x+21= 1; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x=1-21; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ 2x= -20; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =9, \\ x= -10. \end{array} \right.$

Так как - 10 не является натуральным числом, то эта пара не является решением данного уравнения в натуральных числах.

$3) \left \{\begin{array}{l} 2y - 2x+1 = 3, \\ 2y+2x+3= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 4y+4 =16, \\ 2y+2x+3= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =16-4, \\ 2y+2x+3= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =12, \\ 2y+2x+3= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x+2\cdot3+3= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y=3, \\ 2x+9= 13; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x= 13-9; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x= 4; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ x= 2. \end{array} \right.$

Тогда (2; 3) - решение данного уравнения в натуральных числах.

$4) \left \{\begin{array}{l} 2y - 2x+1 = 13, \\ 2y+2x+3= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 4y+4 =16, \\ 2y+2x+3= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =16-4, \\ 2y+2x+3= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4y =12, \\ 2y+2x+3= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x+2\cdot3+3= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y=3, \\ 2x+9= 3; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x= 3-9; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ 2x=-6; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} y =3, \\ x= -3. \end{array} \right.$

Так как - 3 не является натуральным числом, то эта пара не является решением данного уравнения в натуральных числах.

Значит, данное уравнение имеет два решения в натуральных числах

(9; 9) и (2; 3).

Наименьшее из найденных значений х это 2, его квадрат равен 4.

#SPJ1