Предмет: Геометрия, автор: versachexdior

геометрия №11
Как показано на рисунке, если 6 полуокружностей с диаметром 2 построены принимая сторону правильного шестиугольника как диаметр, найдите площадь закрашенной части.
варианты:
a) 6√3 - 3п
b) 9√3/2 - 2п
с) 3√3/2 - 2п
d) 3√3 - п​

Приложения:

siestarjoki: 3√3 - п​
versachexdior: а тот кто решил(а) не правильно значит?
cos20093: Все очень просто, надо только правильно считать. Пусть площадь окружности с радиусом 1 равна S0, а площадь правильного треугольника со стороной 1 равна S1. Тогда общая площадь белой части очевидно равна 6*(S0/6 + 2*S1) = S0 + 12*S1; площадь всего шестиугольника со стороной 2 очевидно равна 24*S1; => площадь заштрихованной части 12*S1 - S0; то есть 3√3 - π
versachexdior: спасибо
versachexdior: вы хорошо знаете косинусы синусы пи и так далее?
versachexdior: у меня задачи есть про это но никто не ответил ещё(

Ответы

Автор ответа: bertramjeratire
1

Ответ:

Нам нужно найти площадь области заключенную двумя окружностями.

Так как диаметр окружности 2, то сторона тоже соответственно 2, а радиус окружности 1.

MB=NB=1

Если провести отрезок BD, то получается, что это биссектриса, потому что окружности равны и шестиугольник правильный.

ΔMBD и ΔBND равносторонние.

Найдем площадь меньшего сегмента круга с центром M заключенную хордой BD.

Площадь сегмента круга:

S =  \frac{ {r}^{2} }{2} ( \alpha  -  \sin( \alpha ) )

α в радианах

У нас треугольники правильные, поэтому α=60°=π/3

S_{сег} =  \frac{ {1}^{2} }{2} ( \frac{\pi}{3}  -  \sin( \frac{\pi}{3} ) ) =  \frac{\pi}{6}  -  \frac{ \sqrt{3} }{4}

А полная площадь области между двумя окружностями будет

2 \times ( \frac{\pi}{6}  -  \frac{ \sqrt{3} }{4} ) =  \frac{\pi}{3}  -  \frac{ \sqrt{3} }{2}

Теперь надо разделить эти полукруги и посчитать у скольких надо взять площадь, которую нашли выше, а у скольких не надо. У 3 нужно и у 3 не нужно, потому что у 2 кругов будет общая площадь.

Теперь посчитаем какова площадь всех 6 полукругов. Площадь круга πr², а нам нужна половина.

S_{кр} =  \frac{\pi {r}^{2} }{2}

Но у нас их целых шесть, поэтому

S_{кр} = 6 \times  \frac{\pi {r}^{2} }{2} = 3\pi {r}^{2}

3\pi  \times {1}^{2}  = 3\pi

А еще отнимем от этого результата 3 площади, заключенных между двумя кругами.

3\pi - 3( \frac{\pi}{3}  -  \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 3\pi - \pi +  \frac{3 \sqrt{3} }{2}  = 2\pi +  \frac{3 \sqrt{3} }{2}

Это у нас получилась площадь кругов на фото.

Площадь всего шестиугольника:

S_{ш} =  \frac{3 {a}^{2} \sqrt{3}  }{2}

Если что, сторона равна диаметру.

S_{ш} =  \frac{3 \times  {2}^{2} \sqrt{3}  }{2}  =  \frac{3 \times 4 \sqrt{3} }{2}  = 6 \sqrt{3}

Теперь отнимем от всей площади шестиугольника площадь кругов.

6 \sqrt{3}  - (2\pi +  \frac{3 \sqrt{3} }{2} ) =  \frac{9 \sqrt{3} }{2}  - 2\pi

Ответ: b)

Приложения:

versachexdior: вау! спасибо вам большое)
Автор ответа: siestarjoki
1

Правильный шестиугольник можно разбить на правильные треугольники. Задача решается на сетке из равносторонних треугольников.

ABCD - ромб с углом 120°, угол BAD=60°

Понимаем, что точки D и Е находятся в узлах сетки.

Площадь ромба ADOE равна двум единичным треугольникам

= 2 * 1/2 *1 *√3/2 =√3/2

Площадь сектора ADE единичной окружности, угол 60°

= п 1^2 /6 =п/6

Вычитая из ромба сектор получим 1/6 искомой площади.

Ответ: 6(√3/2 -п/6) =3√3 -п

Приложения:

versachexdior: спаасибоо большоое
cos20093: Интересно, что если отнестись к этой задаче не как к задаче, а как к тесту, то выбор ответа почти мгновенный :) всю эту конструкцию можно разбить на 6 секторов единичного круга, где каждый - 1/6 от целого, и кучу треугольников. Все сектора вместе - это просто π. То есть в ответ должно входить именно -π :) Может быть, что верного ответа вообще нет, конечно, но я по личному опыту могу сказать, что зная ответ заранее, решать намного проще :)
siestarjoki: Первое решение: искомая фигура - могендовид минус окружность
cos20093: хм... а вот это красиво! великолепный способ счета :)
Похожие вопросы
Предмет: Физика, автор: nastya233291