Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

269.

$a)\ \int\frac{cosx+1}{sinx+x} dx.$

Вносим выражение (cosx+1) под знак дифференциала:

$\int\frac{d(sinx+x)}{sinx+x}=ln|sinx+x|+C.$

$b)\ \int(2x^2-3x)*cosxdx.$

                           Интегрирование по частям.

                                     $\boxed {\int f g'=fg-\int f'g }$

$f=2x^2-3x\ \ \ \ \ f'=4x-3\\g'=cosx\ \ \ \ \ \ g=\int cosxdx=sinx\ \ \ \ \ \Rightarrow\\\int (2x^2-3x)*cosxdx=(2x^2-3x)*sinx-\int (4x-3)*sinxdx.$

                             Интегрирование по частям.

$\int (4x-3)*sinxdx.\\f=4x-3\ \ \ \ \ f'=4\\g'=sinx\ \ \ \ \ g=\int sinxdx=-cosx\ \ \ \ \ \ \Rightarrow\\\int (4x-3)*sinxdx=(4x-3)*(-cosx)-\int 4*(-cosx)dx=3cosx-4xcosx+4sinx.$

$\int (2x^2-3x)*cosxdx=(2x^2-3x)*sinx-(3cosx-4xcosx+4sinx)+C=\\=(2x^2-3x)*sinx+4xcosx-4sinx-3cosx+C.$

Проверка:

$((2x^2-3x)*sinx+4xcosx-4sinx-3cosx)'=\\=(2x^2-3x)'*sinx+(2x^2-3x)*(sinx)'+(4x)'*cosx+4x*(cosx)'-4cosx-\\-3*(-sinx)=(4x-3)*sinx+(2x^2-3x)*cosx+4cosx-4x*sinx-4cosx+\\+3sinx=4xsinx-3sinx+(2x^2-3x)cosx+4cosx-4xsinx-4cosx+3sinx=\\=(2x^2-3x)cosx.$

Answer 2

Ответ:

1)  Метод замены переменной .

$\displaystyle \int \frac{cosx+1}{sinx+x}\, dx=\Big[\ t=sinx+x\ ,\ dt=(sinx+x)'\, dx=(cosx+1)\, dx\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{dt}{t}=ln|\, t\, |+C=ln|sinx+x|+C\ ;$

2) Интегрирование по частям. Применяем метод два раза .

$\displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du\\\\\\\int (2x^2-3x)\cdot cosx\, dx=\Big[\ u=2x^2-3x\ ,\ du=(4x-3)\, dx\ ,\ dv=cosx\, dx\ ,\\\\v=sinx\ \Big]=(2x^2-3x)\, sinx-\int (\underbrace{4x-3}_{u})\cdot \underbrace{sinx\, dx}_{dv}=\\\\=\Big[\ du=4\, dx\ ,\ v=-cosx\ \Big]=(2x^2-3x)\, sinx+(4x-3)\, cosx-4\int cosx\, dx=\\\\\\=(2x^2-3x)\, sinx+(4x-3)\, cosx-4\, sinx+C$  

Проверка.

$\Big((2x^2-3x)\, sinx+(4x-3)\, cosx-4\, sinx+C\Big)'=\\\\=\underline{(4x-3)\, sinx}+(2x^2-3x)\, cosx+\underline{\underline{4\, cosx}}-\underline{(4x-3)\, sinx}-\underline{\underline{4cosx}}=\\\\=(2x^2-3x)\, cosx$