Question

Розв'яжіть рівняння cos2x+3sinx=2. У відповідь запишіть КІЛЬКІСТЬ коренів цього рівняння на проміжку [0;2π]

Answer 1

Ответ:

x = π/2 + 2πk , k € Z

x = (-1)^k × π/6 + πk , k € Z

Объяснение:

cos2x + 3sinx = 2

1-2sin^2x + 3sinx = 2

1-2sin^2x + 3sinx - 2 = 0

-2sin^2x + 3sinx - 1 = 0

Замена sinx = a

-2a^2 + 3a - 1 = 0

D = (b^2) - 4ac = (3^2) - 4 × (-2) × (-1) = 9 + 8 × (-1) = 9-8 = 1 > 0 , 2 корня

a1 = ((-b) - √D / 2a ) = ((-3) - √1 / 2 × (-2)) = ((-3) - 1 / (-4)) = -4/-4 = 1

a2 = ((-b) + √D / 2a ) = ((-3) + √1 / 2 × (-2)) = ((-3) + 1 / (-4)) = -2/-4 = 1/2

По тригонометрической таблице значений , sin π/4 = 1 ; sin π/6 = 1/2

π/4 и π/6 принадлежат промежутку [0 ; 2π]

Следовательно это уравнение имеет 2 корня :

sinx = 1

x = π/2 + 2πk , k € Z

sinx = 1/2

x = (-1)^k × arcsin(1/2) + πk , k € Z

x = (-1)^k × π/6 + πk , k € Z