Question

Вычислить определенный интеграл:

Answer 1

Ответ:

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

$\displaystyle \int\limits _0^2\, ln(x^2+4)\, dx=\Big[\ u=ln(x^2+4)\ ,\ du=\frac{2x\, dx}{x^2+4}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\=uv\Big|_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\, du=x\cdot ln(x^2+4)\Big|_0^2-2\int\limits _0^2\, \frac{x^2}{x^2+4}\, dx=\\\\\\=2\cdot ln8-2\int\limits _0^2\, \frac{(x^2+4)-4}{x^2+4}\, dx=2\cdot ln2^3-2\int\limits _0^2\Big(1-\frac{4}{x^2+4}\Big)\, dx=\\\\\\=2\cdot 3\, ln2-2\cdot \Big(x-4\cdot \frac{1}{2}\cdot arctg\frac{x}{2}\Big)\Big|_0^2=6\, ln2-2\Big(2-2\cdot \frac{\pi}{4}\Big)=$

$=6\, ln2-4+\pi$