Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!!! ДАЮ 40 БАЛЛОВ!

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \tt F(x)=\frac{x}{8}-\frac{1}{64} \cdot sin8x-\frac{\pi }{64}$

Пошаговое объяснение:

Дана функция y = sin²2x·cos²2x и точка A(π/8; 0).

Требуется найти первообразную F(x) для заданной функции, проходящую через точку А, то есть такую первообразную, для которой F(π/8) = 0.

Решение. Находим первообразную F(x) для заданной функции:

$\displaystyle \tt F(x) = \int\limits {sin^22x \cdot cos^22x} \, dx = \frac{1}{4} \int\limits {4 \cdot sin^22x \cdot cos^22x} \, dx = \\\\= \frac{1}{4} \int\limits {(2 \cdot sin2x \cdot cos2x)^2} \, dx =\frac{1}{4} \int\limits {( sin4x )^2} \, dx =\frac{1}{4} \int\limits { sin^24x } \, dx = \\\\=\frac{1}{4} \int\limits { \frac{1-cos8x}{2} } \, dx =\frac{1}{8} \int\limits { (1-cos8x) } \, dx =\frac{1}{8} \int\limits { 1 } \, dx -\frac{1}{8} \int\limits { cos8x } \, dx =$

$\displaystyle \tt =\frac{1}{8} \int\limits { 1 } \, dx -\frac{1}{64} \int\limits { 8 \cdot cos8x } \, dx =\frac{1}{8} \int\limits { 1 } \, dx -\frac{1}{64} \int\limits { cos8x } \, d(8x) =\\\\=\frac{x}{8}-\frac{1}{64} \cdot sin8x+C.$

Теперь определим первообразную, которая проходит через точку А:

$\displaystyle \tt F(\frac{\pi }{8}) =\frac{\dfrac{\pi }{8}}{8}-\frac{1}{64} \cdot sin(8 \cdot \frac{\pi }{8})+C=0 \\\\\frac{\pi }{64}- \frac{1}{64} \cdot sin\pi+C=0\\\\\frac{\pi }{64}- \frac{1}{64} \cdot 0+C=0\\\\C = -\frac{\pi }{64}.$

Искомая первообразная

$\displaystyle \tt F(x)=\frac{x}{8}-\frac{1}{64} \cdot sin8x-\frac{\pi }{64}.$

#SPJ1