Question

Помогите решить 2cos ^(2)x+sin 4x=1

Answer 1

Решить уравнение 2cos^2(x)+sin(4x)=1.

Ответ:

$\LARGE \boldsymbol {} x_1=\frac{ (-1)^{n+1} \pi }{12}+\frac{\pi n}{2} , n \in \mathbb Z\\\\x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2} , n \in \mathbb Z$

Формулы:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos2\alpha =2\cos^ 2\alpha -1\\\\\sin 2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

Объяснение:

$\LARGE \boldsymbol {} 2\cos ^2x+\underset{\sin 2*2x}{\underbrace{\sin 4x}}=1$

Применяем вышеуказанную формулу двойного угла для синуса:

$\LARGE \boldsymbol {} 2\cos ^2x+2\sin 2x\cos 2x-1=0 \\\\\underset{\cos 2x}{\underbrace{2\cos^ 2x-1}}+2\sin 2x\cos 2x=0\\\\\cos 2x(1+2\sin 2x)=0\\\\1+2\sin 2x=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cos 2x=0\\\\2\sin 2x=-1\\\\\sin 2x=-\frac{1}{2}$

Первое уравнение - частный случай: если cos x = b и b ∈ [-1;1], то x=π/2+πn, n ∈ Z.

Второе уравнение решаем по следующей формуле: если sin x = b и b ∈ [-1;1], то x=(-1)ⁿarcsin b + πn, n ∈ Z.

$\Large \boldsymbol {} 2x=(-1)^n\arcsin (-\frac{1}{2}) +\pi n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2x=\frac{\pi }{2}+\pi n\\\\ 2x=(-1)^n *(-\frac{\pi }{6} )+\pi n\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2} , n \in \mathbb Z}\\\\ 2x=-\frac{ (-1)^n *\pi }{6} +\pi n\\\\\boxed{x_1=\frac{ (-1)^{n+1} \pi }{12}+\frac{\pi n}{2} , n \in \mathbb Z }$