Question

ДОПОМОЖІТЬ ЦЕ ТЕРМІНОВО
завдання: дослідити функцію на екстремуми

Answer 1

Ответ:

точка М₀(0; 0) -  точка максимума по определению

fmax = 1

Пошаговое объяснение:

Если мы пойдем обычным путем исследования функции на экстремумы, т.е. найдем частные производные и будем искать стационарные точки, то мы столкнемся с неприятным случаем.

Вот посмотрим.

Частные производные.

$\displaystyle z'_x=-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } ;\qquad z'_y=-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }$

приравняем их к нулю

$\displaystyle \left \{ {{\displaystyle -\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}=0 } } \atop { \displaystyle -\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}=0}} \right.$

эта система не имеет решений, т.r одновременное равенство 0 переменных х и у приводит к равенству yek. знаменателя.

И вот вроде как функция в точке (0; 0) не дифференцируема.

Но сама же функция в этой точке определена и соответствующая поверхность в этой точке непрерывна.

И более того, в знаменателе частных производных второго порядка так же будет фигурировать $\sqrt{x^2+y^2}$  в знаменателе, что не даст возможности проверить достаточное условие наличия экстремума.

В таком случае нужно рассмотреть точки предполагаемого экстремума в разрезе их определения.

Рассмотрим достаточно малую  $\Large \boldsymbol {} \sigma$-окрестность точки M₀(0;0). Любую точку данной окрестности, отличную от M₀, можно представить в виде M(0+Δx; 0+Δy),  где значения Δx и Δу  не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка  входила в эту окрестность.

(Δx и Δу  могут быть как положительными, так и отрицательными, и могут быть разных знаков.)

Значение функции в точке М

$\displaystyle f(0+\triangle x, 0+\triangle y) = 1 -\sqrt{(0+\triangle x)^2+(0+\triangle y)^2} =1- \underbrace{ \sqrt{\triangle x^2+\triangle y^2} }_{ \displaystyle > 0}$

Корень из квадратов "дельт" пусть хоть чуть-чуть, но больше нуля.

Поэтому, если f(M₀) = 1,  будет вполне справедливо написать, что

f(M) < f(M₀).

Таким образом, у нас для точки М₀(0; )  нашлась окрестность, такая, что в ее пределах выполняется неравенство f(M) < f(M₀).

Следовательно, точка М₀ (0; 0) - точка максимума по определению.

Максимум функции  fmax = 1.

#SPJ1