Question

Найдите первый член, знаменатель и количество членов геометрической прогрессии ($y_n$), если
$y_4 - y_2 = -24\\y_3 + y_2 = 6\\S_n = -182$



Знайдіть перший член, знаменник і кількість членів геометричної прогресії ($y_n$), якщо
$y_4 - y_2 = -24\\y_3 + y_2 = 6\\S_n = -182$

Answer 1

Основные формулы для геометрической прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Рассмотрим известные условия:

$\begin{cases} y_4-y_2=-24 \\ y_3+y_2=6 \\ S_n=-182 \end{cases}$

Распишем отдельно первое и второе условие:

$\begin{cases} y_1q^3-y_1q=-24 \\ y_1q^2+y_1q=6 \end{cases}$

$\begin{cases} y_1q(q^2-1)=-24 \\ y_1q(q+1)=6 \end{cases}$

$\begin{cases} y_1q(q+1)(q-1)=-24 \\ y_1q(q+1)=6 \end{cases}$

Первое уравнение почленно разделим на второе и получим:

$\dfrac{y_1q(q+1)(q-1)}{y_1q(q+1)} =\dfrac{-24}{6}$

$q-1=-4$

$\boxed{q=-3}$

Подставим, например, во второе уравнение найденное значение знаменателя:

$y_1\cdot(-3)\cdot(-3+1)=6$

$y_1\cdot(-3)\cdot(-2)=6$

$y_1\cdot6=6$

$\boxed{y_1=1}$

Теперь распишем последнее условие:

$\dfrac{y_1(q^n-1)}{q-1}=-182$

И подставим известные величины:

$\dfrac{1\cdot((-3)^n-1)}{-3-1}=-182$

$\dfrac{(-3)^n-1}{-4}=-182$

$(-3)^n-1=-182\cdot(-4)$

$(-3)^n-1=728$

$(-3)^n=729$

$(-3)^n=(-3)^6$

$\boxed{n=6}$

Ответ: первый член равен 1; знаменатель равен -3; количество членов прогрессии 6