Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ И ЛУЧШИЙ ОТВЕТ!
В четырёхугольнике АВСD проведена диагональ АС. Известно, что ∠ВАС=∠АСD, АВ=2, АD=7, DC=8, АС=4. Найдите ВС.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{7}{2}.$

Пошаговое объяснение:

Пусть углы BAC и ACD равны α, а сторона BC равна x. Применим теорему косинусов к треугольникам BAC и ACD:

7²=8²+4²-2·8·4·cos α; x²=4²+2²-2·4·2· cos α;

избавимся от косинусов, вычтя из учетверенного второго равенства первое равенство:

4x²-49=64+16-64-16; 4x²=49; x=7/2.

Замечание. Задачу можно сделать с помощью теоремы Стюарта. Те, кто ее не знает, может найти формулировку в интернете или в продвинутых учебниках. При таком способе решения замечаем, что из равенства внутренних накрест лежащих углов следует параллельность AB и CD, поэтому если провести AE параллельно BC (E - на стороне CD), получаем параллелограмм ABCE, откуда AE=BC=x; EC=AB=2; DE=DC-EC=6, а тогда по теореме Стюарта

$AE^2=\dfrac{AD^2\cdot EC+AC^2\cdot DE}{DC}-DE\cdot EC=\dfrac{49}{4}.$