Question

100 БАЛЛОВ СРОЧНО
Дано дифференциальное уравнение второго порядка, которое
допускает понижение порядка.

Answer 1

Ответ:

Задача Коши для д.у. 2 порядка.

$\displaystyle y''=\dfrac{x}{\sqrt{(1-4x^2)^3}}\ \ ,\ \ y(0)=0\ ,\ y'(0)=0\\\\\\y'=\int \dfrac{x\, dx}{\sqrt{(1-4x^2)^3}}\\\\\\\int \dfrac{x\, dx}{\sqrt{(1-4x^2)^3}}=\Big[\ t=1-4x^2\ ,\ dt=-8x\, dx\ \Big]=-\frac{1}{8}\int \frac{dt}{\sqrt{t^3}}=\\\\\\=-\frac{1}{8}\cdot \frac{t^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+C=\frac{1}{4\sqrt{1-4x^2}}+C\\\\\\\star \ \ y'=\frac{1}{4\sqrt{1-4x^2}}+C_1\\\\\\y'(0)=0:\ \frac{1}{4\sqrt{1-0}}+C_1=0\ \ ,\ \ C_1=-0,25\\\\\\y=\int \Big(\frac{1}{4\sqrt{1-4x^2}}+C_1\Big)\, dx$

$\displaystyle \int \Big(\frac{1}{4\sqrt{1-4x^2}}+C_1\Big)\, dx=\frac{1}{4\cdot 2}\cdot arcsin(2x)+C_1x+C_2\\\\\\\star \ \ y=\frac{1}{8}\cdot arcsin(2x)+C_1x+C_2\\\\\\y(0)=0:\ \frac{1}{8}\cdot arcsin0+C_1\cdot 0+C_2=0\ \ ,\ \ C_2=0$  

Частное решение:    $y=\dfrac{1}{8}\cdot arcsin(2x)-0,25x$   .