Question

помогите решить упражнение​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{18}\ln\left|\dfrac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}\right|+C.$

Пошаговое объяснение:

Эту задачу можно решить стандартным способом, разложив подинтегральную функцию на элементарные дроби, скажем, с помощью неопределенных коэффициентов. Но мы попробуем упростить выкладки, сделав замену x-1=t; dx=dt. Получаем интеграл

$\int\dfrac{dt}{t(t+3)(t-3)}=\int\dfrac{t\, dt}{t^2(t^2-9)}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt^2}{t^2(t^2-9)};$. замена t²=p приводит к интегралу

$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dp}{(p-9)p}.$ Усредняющая замена $p-\frac{9}{2}=q$ сводит интеграл к табличному:

$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dq}{q^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{9}\cdot \ln\left|\dfrac{q-\frac{9}{2}}{q+\frac{9}{2}}\right|+C=\dfrac{1}{18}\ln\left|\dfrac{p-9}{p}\right|+C=\dfrac{1}{18}\ln\left|\dfrac{t^2-9}{t^2}\right|+C=$

$=\dfrac{1}{18}\ln\left|\dfrac{(x-1)^2-9}{(x-1)^2}\right|+C=\dfrac{1}{18}\ln\left|\dfrac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}\right|+C.$