Question

Помогите пожалуйста!!!!Объемы шара и цилиндра одинаковы. Найдите отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности цилиндра, если радиусы шара и основания цилиндра одинаковы.
Ответ:0,86. Как его получили?

Answer 1

Объяснение:

Дано:

$V_{\text{ш}}=V_{\text{ц}} =v \\ R_{\text{ ш}}=R_{\text{ осн.ц}} = r$

Найти:

$\frac{S_{\text{ пов.ш}}}{S_{\text{ пов.ц}}} = \: ?$

Решение:

Запишем формулы нахождения объема для шара и цилиндра:

$V_{\text{ ш}}= \frac{4}{3}{\cdot}{\pi}r^3 \qquad\qquad \: \: \: \: \\ V_{\text{ ц}}=S_{\text{осн.ц}}\cdot{h} = {\pi}r^2{\cdot}{h}$

где h - высота цилиндра

Так как объемы равны, можно записать следующее и выразить высоту цилиндра через радиус:

$V_{\text{ ш}}= V_{\text{ ц}} \: \: = > \: \frac{4}{3}{\cdot}{\pi}r^3 = {\pi}r^2{\cdot}{h} \\ \frac{4}{3}r\cdot{\pi}r^2 = h\cdot{\pi}r^2 \: \: = > \: \: h = \frac{4}{3} \cdot{r}$

Ииак нам известны все необходимые данные для вычисления площади поверхности обоих тел.

Площадь поверхности шара (площадь сферы) равна:

$S_{\text{ пов.ш}} = 4\pi {\cdot }{r}^{2}$

Площадь поверхности цилиндра равна:

${S_{\text{ пов.ц}}} = 2\pi {\cdot} {r}^{2} + 2\pi {\cdot} {r} {\cdot} {h} =2\pi {\cdot} {r}(r + h)$

с учетом что $h = \frac{4}{3} \cdot{r}$

${S_{\text{ пов.ц}}} =2\pi {\cdot} {r}(r + \frac{4}{3}{\cdot} {r} ) =2\pi {\cdot} {r}{\cdot}\frac{7}{3}{\cdot} {r} \\ {S_{\text{ пов.ц}}} =2 \cdot \frac{7}{3}\cdot { \pi} {\cdot} {r}{\cdot} {r} = \frac{14}{3} {\cdot} { \pi}{r}^{2}$

А следовательно,

$\small \: \frac{S_{\text{ пов.ш}}}{S_{\text{ пов.ц}}} =\frac{ 4{\cdot }{ \pi}{r}^{2}}{ \large{\frac{14}{3} } \small{\cdot} { \pi}{r}^{2} }{ =} \frac{ 4\cdot \cancel{ { \pi}{r}^{2}}}{ \large{\frac{14}{3} } \small\cdot \cancel{ { \pi}{r}^{2}} }{ =} \frac{4 \cdot3}{14}{ =} \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

С учетом округления имеем:

$\small \: \frac{S_{\text{ пов.ш}}}{S_{\text{ пов.ц}}} = \frac{6}{7} \approx \: 0.86$