. К окружности с центром в точке О проведены две касательные, пересекающиеся под углом 76° в точке Р и касающиеся окружности в точках А и В. Найти величину угла АОВ.
1) 104 2) 52 3) 76 4) 26
Ответы
Ответ:
1) 104°
Объяснение:
1) Воспользуемся свойством касательных к окружности: "Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам".
Из этого свойства следует, что АР=ВР и ∠ОРА=∠ОРВ=76°:2=38°
2) ОА=ОВ как радиусы окружности
3) ∠ОАР=∠ОВР=90°, т.к. радиус составляет прямой угол с касательной.
4) Из 1), 2) и 3) следует, что ΔОАР=ΔОВР (по 1 признаку равенства треугольников - две стороны и угол между ними).
5) Из 4) следует, что ∠АОР=∠РОВ (как соответствующие углы равных треугольников ОАР и ОВР.
6) ΔАОР - прямоугольный, т.к. ∠ОАР=90° (см. п.3)
∠АОР=180° - (∠ОРА+∠АОР) = 180°-(38°+90°)=180°-128°= 52°
7) ∠АОР=∠РОВ (см. п.5), ∠АОР=∠РОВ = 52°
8) ∠АОВ=∠АОР+∠РОВ = 52°+52° = 104°
