Даны точки S(-3, 4, 1), K(-3, 3, 1), L(-5, -3, 0),P(4, –3, 4).
а) Составить уравнение высоты пирамиды SKLP, опущенной с вершины S.
б) Найти точку, симметричную к точке S относительно плоскости KLP.
Ответы
Даны точки S(-3, 4, 1), K(-3, 3, 1), L(-5, -3, 0),P(4, –3, 4).
а) Составить уравнение высоты пирамиды SKLP, опущенной с вершины S
б) Найти точку, симметричную к точке S относительно плоскости KLP.
a) Для составления уравнения плоскости KLP используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - z
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-3) y – 3 z - 1
(-5) - (-3) (-3) - 3 0 - 1
4 - (-3) (-3) – 3 4 - 1 = 0
x + 3 y – 3 z - 1
-2 -6 -1
7 -6 3 = 0
(x + 3)*(-6·3-(-1)·(-6) – (y – 3)*(-2·3-(-1)·7 + (z - 1)*(-2·(-6)-(-6)·7) = 0
(-24)(x - (-3)) + (-1)(y – 3) + 54(z - 1) = 0
- 24x - y + 54z - 123 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
24x + y - 54z +123 = 0.
Отсюда определяем координаты нормального вектора плоскости KLP: →N=(−24; −1; 54).
Тогда уравнение высоты пирамиды SKLP, опущенной с вершины S(-3, 4, 1), будет иметь вид (x + 3)/(-24) = (y – 4)/(-1) = (z – 1)/54.
б) Чтобы найти точку, симметричную к точке S относительно плоскости KLP, надо определить координаты точки пересечения высоты из вершины S с плоскостью KLP.
Для этого выразим уравнение высоты в параметрическом виде.
x = -24t – 3,
y = -t + 4,
z = 54t + 1.
Подставим эти данные в уравнение плоскости.
24(-24t – 3) + (-t + 4) – 54(54t + 1) +123 = 0.
-576t – 72 –t + 4 -2916t – 54 + 123 = 0
-3493 t + 1 = 0.
t = 0,000286287.
x = -3,006870885.
y = 3,999713713.
z = 1,01545949.
Найдены координаты точки М пересечения высоты из точки S с плоскостью KLP.
Точку М1, симметричную точке S относительно т очки М, найдём по формулам:
x(M1) = 2x(M) – x(S) = 2*(-3,006870885) – (-3) = -3,013741769,
y(M1) = 2y(M) – y( = 2*3,999713713 – 4 = 3,999427426,
z(M1) = 2z(M) – z(S)= 2* 1,01545949 - 1 = 1,030918981.