Плоскость проходит через вершину С и середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. В каком отношении она делит ребро АА₁?
Ответы
Ответ:
лельна прямой BD, она параллельна и прямой B1D1, а, значит, плоскость α, пересекает плоскость B1D1С1 по некоторой прямой MN, параллельной прямой B1D1. Пусть точка \[N принадлежит B_1C_1\] и прямая MN пересекает прямую A1C1 в точке L, а прямая KL пересекает прямую CC1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых A1C и KL есть точка пересечения плоскости α с диагональю A1C (см. рис. 1).
Прямая MN параллельна B1D1 и точка M середина ребра C1D1, Значит, отрезок MN ― средняя линия треугольника B1C1D1 и, следовательно, LC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби A_1C_1.
Положим AA_1=a, тогда A_1K= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби a. Далее имеем (см. рис. 2):
1) \Delta PC_1L \sim \Delta KA_1L, откуда дробь: числитель: PC_1, знаменатель: KA конец дроби _{1}= дробь: числитель: LC_1, знаменатель: LA конец дроби _{1}= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Отсюда находим: PC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a, и тогда PC= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби a.
2) \Delta A_1OK\sim\Delta COP, откуда
дробь: числитель: A_1O, знаменатель: OC конец дроби = дробь: числитель: A_1K, знаменатель: PC конец дроби = дробь: числитель: 3a умножить на 4, знаменатель: 4 умножить на 5a конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,
что и требовалось доказать.
б) Из того, что MN\parallel B_1D_1 и A_1C_1\bot B_1D_1, получаем, что MN\bot A_1C_1. А значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, MN\bot LC_1. Кроме того, (A_1B_1C_1)\parallel (ABC). Таким образом, угол PLC_1 ― линейный угол искомого двугранного угла.
Далее имеем: A_1C_1= корень из 2a,LC_1= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 4 конец дроби a,PC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби a. Из треугольника PLC_1 находим: тангенс \angle PLC_1= дробь: числитель: PC_1, знаменатель: LC конец дроби _{1}= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби , откуда \angle PLC_1=\arctg дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби .
Ответ: б) \arctg дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби .