Question

Плоскость проходит через вершину С и середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. В каком отношении она делит ребро АА₁?

Answer 1

Ответ:

­лель­на пря­мой BD, она па­рал­лель­на и пря­мой B1D1, а, зна­чит, плос­кость α, пе­ре­се­ка­ет плос­кость B1D1С1 по не­ко­то­рой пря­мой MN, па­рал­лель­ной пря­мой B1D1. Пусть точка \[N при­над­ле­жит B_1C_1\] и пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую A1C1 в точке L, а пря­мая KL пе­ре­се­ка­ет пря­мую CC1 в точке P. Тогда точка пе­ре­се­че­ния пря­мых A1C и KL есть точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с диа­го­на­лью A1C (см. рис. 1).

Пря­мая MN па­рал­лель­на B1D1 и точка M се­ре­ди­на ребра C1D1, Зна­чит, от­ре­зок MN ― сред­няя линия тре­уголь­ни­ка B1C1D1 и, сле­до­ва­тель­но, LC_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A_1C_1.

По­ло­жим AA_1=a, тогда A_1K= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a. Далее имеем (см. рис. 2):

1) \Delta PC_1L \sim \Delta KA_1L, от­ку­да дробь: чис­ли­тель: PC_1, зна­ме­на­тель: KA конец дроби _{1}= дробь: чис­ли­тель: LC_1, зна­ме­на­тель: LA конец дроби _{1}= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . От­сю­да на­хо­дим: PC_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a, и тогда PC= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a.

2) \Delta A_1OK\sim\Delta COP, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: A_1O, зна­ме­на­тель: OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A_1K, зна­ме­на­тель: PC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3a умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 5a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Из того, что MN\parallel B_1D_1 и A_1C_1\bot B_1D_1, по­лу­ча­ем, что MN\bot A_1C_1. А зна­чит, со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, MN\bot LC_1. Кроме того, (A_1B_1C_1)\parallel (ABC). Таким об­ра­зом, угол PLC_1 ― ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла.

Далее имеем: A_1C_1= ко­рень из 2a,LC_1= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a,PC_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a. Из тре­уголь­ни­ка PLC_1 на­хо­дим: тан­генс \angle PLC_1= дробь: чис­ли­тель: PC_1, зна­ме­на­тель: LC конец дроби _{1}= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби , от­ку­да \angle PLC_1=\arctg дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби .

Ответ: б) \arctg дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби .