Question

Помогите, пожалуйста
sin3x+sin7x=2sin5x

Answer 1

Решить уравнение sin3x+sin7x=2sin5x.

Ответ:

x₁= (πn)/5, n ∈ Z and x₂= πn, n ∈ Z.

Формула:

$\LARGE \boldsymbol {} \sin \alpha +\sin\beta =2\sin\frac{\alpha +\beta }{2} \cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

Пошаговое объяснение:

$\LARGE \boldsymbol {} \sin3x+\sin7x=2\sin5x\\\\ 2\sin\frac{3x+7x }{2} \cos\frac{3x-7x}{2}=2\sin5x\\\\2\sin5x\cos(-2x)-2\sin5x=0\\\\2\sin5x(\cos(-2x)-1)=0\\\\2\sin5x=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cos(-2x)-1=0\\\\\sin5x=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cos(-2x)=1$

Мы имеем два уравнения. Оба - частные случаи.

Если sin a = 0, то a = πn, n ∈ Z; если cos a = 1, то a = 2πn, n ∈ Z.

Косинус - чётная функция, cos(-x)=cos x, поэтому мы можем убрать минус возле двойки в косинусе. Соответственно:

$\LARGE \boldsymbol {} \sin5x=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cos2x=1\\\\5x=\pi n, n \in Z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2x=2\pi n, n \in Z\\\\x_1=\frac{\pi n}{5} , n \in Z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=\pi n, n \in Z$