Question

Функцію задано формулою f(x)=2x^3/3-8x. 1) Знайдіть критичні точки функції f(x). 2) Знайдіть найбільше й найменше значення функції f(x) на відрізку [0;3].

Answer 1

Ответ:

а) Критические точки: 0; 9/16; 3/8.

б) Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3] равно:

$\displaystyle f(0)=\boxed 0$ ;

Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3] равно:

$\displaystyle f(3)= \boxed {-2,57}$

Объяснение:

Функция задана формулой

$\displaystyle f(x)=\frac{2x^3}{3-8x}$

1) Найдите критические точки функции f(x).

2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [0;3].

1)

• Критическая точка – это точка, производная в которой равна нулю или не существует.

Производная частного:

$\displaystyle \boxed { \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

Производная сложной степенной функции:

$\displaystyle \boxed { (u^n)'=nu^{n-1}u' }$

Найдем производную:

$\displaystyle f'(x)=\frac{2\cdot3x^2\cdot(3-8x)-2x^3\cdot(-8)}{(3-8x)^2}=\\\\=\frac{18x^2-48x^3+16x^3}{(3-8x)^2} =\frac{18x^2-32x^3}{(3-8x)^2}$

• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\displaystyle 1.\; 18x^2-32x^3=0\\\\2x^2(9-16x)=0\\\\x=0;\;\;\;\;\;x=\frac{9}{16}$

$\displaystyle 2.\;3-8x\neq 0\\\\x\neq \frac{3}{8}$

Критические точки: 0; 9/16; 3/8.

2) Найдем значение функции  $\displaystyle f(x)=\frac{2x^3}{3-8x}$ на концах промежутка [0; 3]

$\displaystyle f(0)=\boxed 0$

$\displaystyle f(3)=\frac{2\cdot3^3}{3-8\cdot3}=\frac{54}{-21}\approx \boxed {-2,57}$

Критические точки найдены и принадлежат данному промежутку.

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке будет максимум, если с минуса на плюс - минимум.

Отметим точки на числовой оси и определим знаки на промежутках.

См. вложение.

Точка   $\displaystyle x=\frac{3}{8}\notin{D(y)}$

Видим, что в точке   $\displaystyle x=\frac{9}{16}$  будет max.

Найдем значение функции в этой точке:

$\displaystyle f\left(\frac{9}{16}\right) =\frac{2\cdot{\frac{9^3}{16^3} }}{3-8\cdot\frac{9}{16} } \approx \boxed { -0,24}$

Сравним полученные значения:

Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3] равно:

$\displaystyle f(0)=\boxed 0$ ;

Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3] равно:

$\displaystyle f(3)= \boxed {-2,57}$

#SPJ1