Question

Решение дифференциального уравнения 2y''+y'-y=0 для условий y(0)=1, y'(0)=-2

Answer 1

$2y''+y'-y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=-2$

Составим характеристическое уравнение:

$2\lambda^2+\lambda-1=0$

$D=1-4\cdot2\cdot(-1)=9$

$\lambda_1=\dfrac{-1-\sqrt{9} }{2\cdot2} =-1$

$\lambda_2=\dfrac{-1+\sqrt{9} }{2\cdot2} =\dfrac{1}{2}$

Общее решение уравнения:

$y=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{1}{2}x }$

Найдем производную:

$y'=-C_1e^{-x}+\dfrac{1}{2} C_2e^{\frac{1}{2}x }$

Составим систему по заданным начальным условиям:

$\begin{cases} C_1e^{-0}+C_2e^{\frac{1}{2}\cdot0 }=1\\ -C_1e^{-0}+\dfrac{1}{2} C_2e^{\frac{1}{2}\cdot0}=-2 \end{cases}$

Учитывая, что $e^0=1$, получим:

$\begin{cases} C_1+C_2=1\\ -C_1+\dfrac{1}{2} C_2=-2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получим:

$\dfrac{3}{2} C_2=-1$

$C_2=-\dfrac{2}{3}$

Из первого уравнения системы получим:

$C_1=1-C_2$

$C_1=1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$

Тогда, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

$\boxed{y=\dfrac{5}{3} e^{-x}-\dfrac{2}{3} e^{\frac{1}{2}x }}$