Question

Помогите.
1) $cos(arctg \frac{1}{3}+arcctg(- \sqrt{3}))$
2)$\sqrt{1-3sin6x}=-2 \sqrt{2}cos3x$

Answer 1

1)
$cos(arctg\frac{1}{3}+arctg(-\sqrt{3}))\\ cos(arctg\frac{1}{3}-\frac{\pi}{3})=sin(arctg\frac{1}{3})sin(-\frac{\pi}{3})+cos(arctg\frac{1}{3})cos(-\frac{\pi}{3})\\ sin(arctg\frac{1}{3})*-\frac{\sqrt{3}}{2}+cos(arctg\frac{1}{3})*\frac{1}{2}$\\\\

$1)sin(arctg\frac{1}{3})=\frac{2tg(\frac{arctg\frac{1}{3}}{2})}{1+tg^2(\frac{arctg\frac{1}{3}}{2})}=$
$\frac{2*\frac{\frac{1}{3}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{9}}}}{\frac{\frac{1}{3}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{9}}}^2}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ 
аналогично вычисляем вторую будет   
$cos(arctg\frac{1}{3})=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 
и того $-\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{1}{2}*\frac{3\sqrt{10}}{10}=\\ -\frac{\sqrt{30}}{20}+\frac{3\sqrt{10}}{20}$

$2)\\ \sqrt{1-3sin6x}=-2\sqrt{2}*cos3x\\ 1-3sin6x=8cos^23x\\ 1-3sin(2*3x)=8cos^23x\\ 1-6sin3x*cos3x=8cos^23x\\ 1-6\sqrt{1-cos^23x}*cos3x=8cos^23x\\ \\ |1-3sin6x \geq 0\\ \\ cos3x=t\\ 1-6\sqrt{1-t^2}*t=8t^2\\ -6\sqrt{t^2-t^4}=8t^2-1\\ 6\sqrt{t^2-t^4}=1-8t^2\\ 36(t^2-t^4)=1-16t^2+64t^4\\ 36t^2-36t^4=1-16t^2+64t^4\\ 100t^4-52t^2+1=0$
решая через дискриминант получаем          
$cos3x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\\ cos3x=\frac{1}{5\sqrt{2}}$
то есть откуда получаем такие решения    
$x=\frac{2\pi*n}{3}+\frac{\pi}{4}$ второй корень можно выразить через тангенс 
$x=\frac{2}{3}(\pi*n+arctg(\frac{-1-5\sqrt{2}}{7}))$